ばねによる質点の運動(抵抗あり)

ばね(発条)に繋がれた質点の運動について見ていきます。

前回では質点の運動に抵抗はないものとしました。
ばねによる質点の運動 - 数式で独楽する

本稿では、速度に比例した抵抗が働くものとします。

質量 $m$ の質点の運動方程式は、
\begin{equation}
m \frac{d^2 x}{dt^2} = -kx -b \frac{dx}{dt}
\end{equation}です。

\begin{eqnarray}
\gamma &=& \frac{b}{2m} \\
\omega_0 &=& \sqrt{\frac{k}{m}}
\end{eqnarray}とします。
\begin{equation}
\frac{d^2 x}{dt^2} +2\gamma \frac{dx}{dt} +{\omega_0}^2 x = 0
\end{equation}と変形できます。

微分方程式を解くと、時刻 $t$ における質点の変位は次のようになります。 $\gamma, \omega$ の関係で場合分けされます。 $C_1, \ C_2$ は任意定数です。
斉次2階線型微分方程式その3 - 数式で独楽する
 斉次2階線型微分方程式その4 - 数式で独楽する

(i) $\gamma > \omega_0$ の場合
\begin{equation}
x = e^{-\gamma t} \left( C_1 \, e^{t \sqrt{\gamma^2 -{\omega_0}^2}} +C_2 \, e^{-t \sqrt{\gamma^2 -{\omega_0}^2}} \right)
\end{equation}
過減衰と呼ばれるものです。

(ii) $\gamma = \omega_0$ の場合
\begin{equation}
x = e^{-\gamma t} (C_1 +C_2 t)
\end{equation}
臨界減衰と呼ばれるものです。

(iii) $\gamma < \omega_0$ の場合
\begin{equation}
x = e^{-\gamma t} \left( C_1 \cos t\sqrt{{\omega_0}^2 -\gamma^2} +C_2 \sin t\sqrt{{\omega_0}^2 -\gamma^2} \right)
\end{equation}
減衰振動と呼ばれるものです。

さらに外力がある場合については、別の記事で紹介します。