2002年後期京大理系第2問 - 数式で独楽する

楕円 $\displaystyle x^2 +\frac{y^2}{4} =1$ と円 $(x -a)^2 +y^2 = b \ (b > 0)$ が相異なる4点で交わるという。このとき点 $(a,b)$ のとりうる範囲を図示せよ。

解答例
解説

解答例

\begin{eqnarray}
x^2 +\frac{y^2}{4} &=& 1 \\
(x -a)^2 +y^2 &=& b
\end{eqnarray}より $y$ を消去すると、
\begin{equation}
(x -a)^2 +4(1 -x^2) = b
\end{equation}となります。整理して
\begin{equation}
3x^2 +2ax +b -a^2 -4 = 0 \tag{1}
\end{equation}を得ます。

楕円と円が相異なる4点で交わるのは、式(1)が $-1 < x < 1$ で相異なる2実数解を持つ場合です。
すなわち、次の4項目が全て成立する場合です。
なお、式(1)の左辺を $f(x)$ とします。

式(1)の判別式 $D > 0$
$y = f(x)$ の軸 $\displaystyle x = -\frac{a}{3}$ について、 $\displaystyle -1 < -\frac{a}{3} < 1$
$f(1) > 0$
$f(-1) > 0$

項目1は、
\begin{equation}
\frac{D}{4} = a^2 -3(b -a^2 -4) > 0
\end{equation}ということです。これより、
\begin{equation}
b < \frac{4}{3} \, a^2 +4 \tag{2}
\end{equation}を得ます。

項目2より、
\begin{equation}
-3 < a < 3 \tag{3}
\end{equation}を得ます。

項目3は、
\begin{equation}
f(1) = b -a^2 +2a -1 > 0
\end{equation}です。これより
\begin{equation}
b > (a -1)^2 \tag{4}
\end{equation}を得ます。

項目4は、
\begin{equation}
f(-1) = b -a^2 -2a -1 > 0
\end{equation}です。これより、
\begin{equation}
b > (a +1)^2 \tag{5}
\end{equation}を得ます。

以上より、求める領域は式(2)~(5)を全て満たす領域となります。
図示すると下の図のオレンジの着色部で、境界線は含みません。

解説

中心が原点にある楕円と、 $x$ 軸上に中心を持つ円を絵に描いてみると、相異なる4点で交わる円は位置も半径もかなり限定されることが分かります
図全体は $x$ 軸で対称であり、1個の $x$ に対し $(x,y), \ (x,-y)$ が交点になります。なので、本文に示した通り、 $y$ を消去して得た2次方程式が $-1 < x < 1$ で相異なる2実数解を持つ条件で絞り込むこととなります。