質点の円運動において、
- 質点の、運動の中心からの向きと、
- 質点の運動の向き
は、垂直です。
質点は円周上を動いています。質点の位置(円の中心に対する位置ベクトルです)は
\begin{equation}
|\boldsymbol{r}| = 一定
\end{equation}を満たします。
2乗しても一定です。つまり
\begin{equation}
|\boldsymbol{r}|^2 = 一定
\end{equation}です。
時間で微分して、
\begin{equation}
\frac{d}{dt} \, |\boldsymbol{r}|^2 = 0
\end{equation}を得ます。
ベクトルの大きさの2乗は自身との内積なので、
\begin{equation}
\frac{d}{dt} \, (\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{r}) = 0
\end{equation}となります。
内積の微分となっており、
ベクトルの内積の微分 - 数式で独楽する
\begin{equation}
2 \boldsymbol{r} \cdot \frac{d}{dt} \, \boldsymbol{r} = 0
\end{equation}を得ます。
この式は、運動の中心から質点への向きと質点の運動の向きが垂直になっていることを示しています。
