本稿では、
指数関数vsべき乗(工場中) - 数式で独楽する
の補題
負でない整数
に対し、
のとき
\begin{equation}
f_n (x) = e^x -\frac{x^n}{n!} > 0
\end{equation}
を示していきます。
(i) の場合
\begin{equation}
f_0 (x) = e^x -1 > 0
\end{equation}で、本命題は成り立ちます。
(ii) の場合
本命題が成り立つと仮定します。つまり
\begin{equation}
f_k (x) = e^x -\frac{x^k}{k!} > 0
\end{equation}が成り立つと仮定します。
関数
\begin{equation}
f_{k +1} (x) = e^x -\frac{x^{k +1}}{(k +1)!}
\end{equation}について、
\begin{eqnarray}
{f_{k +1}}' (x) &=& f_k (x) > 0 \\
f_{k +1} (0) &=& 1
\end{eqnarray}なので
\begin{equation}
f_{k +1} (x) > 0
\end{equation}となります。
つまり、のときも本命題が成り立ちます。
関数の増減は次の通りです。
\begin{array}{c|cc}
\hline
x & 0 & \cdots \\ \hline
{f_{k +1}}' (x) & 1 & + \\ \hline
f_{k +1} (x) & 1 &\nearrow \\ \hline
\end{array}
(i), (ii)により、負でない整数に対し、本命題が成り立つことが示されました。
数学的帰納法 - 数式で独楽する
