中心力とは、物体にかかる力が定点との距離のみで表され、その方向は定点またはその逆を向いている力をいいます。
中心力の場においては、角運動量が保存されます。
中心力と角運動量の保存 - 数式で独楽する
本稿では、ベクトルで見ていきます。
物体の諸量を以下の通りとします。
| 位置 | |
| 運動量 | |
| 力 | |
| 角運動量 | |
| トルク | |
運動方程式は、
\begin{eqnarray}
\frac{d \boldsymbol{p}}{dt} &=& \boldsymbol{F} \tag{1} \\
\frac{d \boldsymbol{L}}{dt} &=& \boldsymbol{N} \tag{2}
\end{eqnarray}です。*1
式(2)を書き換えると
\begin{equation}
\frac{d}{dt} \, (\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}) = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}
\end{equation}です。
が中心力であるとは、
に平行ということであり、
\begin{equation}
\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}
\end{equation}です。
したがって、
\begin{equation}
\frac{d \boldsymbol{L}}{dt} = \frac{d}{dt} \, (\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}) = \boldsymbol{0}
\end{equation}となります。
これは、角運動量
\begin{equation}
\boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}
\end{equation}が保存されることを示しています。
*1:角運動量の時間変化は \begin{eqnarray} \frac{d \boldsymbol{L}}{dt} &=& \frac{d}{dt} \, (\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}) \\ &=& \frac{d \boldsymbol{r}}{dt} \times \boldsymbol{p} +\boldsymbol{r} \times \frac{d \boldsymbol{p}}{dt} \\ &=& \boldsymbol{v} \times m \boldsymbol{v} +\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} \\ &=& \boldsymbol{0} +\boldsymbol{N} \\ &=& \boldsymbol{N} \end{eqnarray}です。 ベクトルの外積 - 数式で独楽する ベクトルの外積の微分 - 数式で独楽する
