x^r/e^xの極限 - 数式で独楽する

本稿では、 $y = e^x$ は $y = x^r$ よりも強いことを見ていきます。 $r$ は正の実数です。つまり、

\begin{equation}
\lim_{x \to \infty} \frac{x^r}{e^x} = 0
\end{equation}

であることを示します。 $x$ の指数部分は、負でさえなければ整数でなくともよいということです。

任意の正の実数 $r$ に対し、
\begin{equation}
n -1 < r \leqq n
\end{equation}なる自然数 $n$ が存在します。
$x > 1$ のとき、
\begin{equation}
x^r \leqq x^n
\end{equation}です。

これより、
\begin{equation}
0 < \frac{x^r}{e^x} \leqq \frac{x^n}{e^x}
\end{equation}となります。

ここで、
\begin{equation}
\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\lim_{x \to \infty} \frac{x^r}{e^x} = 0
\end{equation}となります。
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 x^n/e^xの極限 - 数式で独楽する

$y = e^x$ は、 $y = x^r$ よりも強いのです。