2023年京大理系第1問の問1 - 数式で独楽する

定積分 $\displaystyle \int_1^4 \sqrt{x} \, \log (x^2) \, dx$ の値を求めよ。

解答例
解説

解答例

\begin{eqnarray}
\int_1^4 \sqrt{x} \, \log (x^2) \, dx &=& 2\int_1^4 \sqrt{x} \, \log x \, dx \\
&=& 2 \left[ \frac{2}{3} \, x^{3/2} \, \log x \right]_1^4 -\frac{4}{3} \int_1^4 x^{1/2} \, dx \\
&=& 2 \left( \frac{2}{3} \cdot 8 \log 4 -0 \right) -\frac{4}{3} \left[ \frac{2}{3} \, x^{3/2} \right]_1^4 \\
&=& \frac{64}{3} \, \log 2 -\frac{8}{9} \, (8-1) \\
&=& \frac{64}{3} \, \log 2 -\frac{56}{9}
\end{eqnarray}