2001年後期京大理系第2問 - 数式で独楽する

正の整数 $n$ に対し、多項式 $f_n (x)$ を、 $n = 1$ に対しては $f_1 (x) = 1$ とし、 $n \geqq 2$ のときは $f_n (x) = (1 +x) f_{n -1} (x^2)$ で帰納的に定める。 $g_n (x) = (1 -x) f_n (x)$ とおくとき、 $g_n (x)$ を求めよ。また、 $n \to \infty$ のとき $f_n (x)$ が収束する実数 $x$ の範囲を求めよ。

解答例
解説

解答例

与えられた式により、
\begin{eqnarray}
g_n (x) &=& (1 -x) f_n (x) \\
&=& (1 -x)(1 +x) f_{n -1} \! \left( x^2 \right) &=& (1 -x^2) f_{n -1} \! \left( x^2 \right) \\
&=& \left( 1 -x^2 \right) \left( 1 +x^2 \right) f_{n -2} \! \left( x^4 \right) &=& \left( 1 -x^4 \right) f_{n -2} \! \left( x^4 \right) \\
& \vdots & \\
&=& \left( 1 -x^{2^{n -2}} \right) \left( 1 +x^{2^{n -2}} \right) f_1 \! \left( x^{2^{n -1}} \right) &=& \left( 1 -x^{2^{n -1}} \right) f_1 \! \left( x^{2^{n -1}} \right) \\
&=& 1 -x^{2^{n -1}}
\end{eqnarray}を得ます。

次に $f_n (x)$ が収束する $x$ の範囲を求めていきます。
与えられた式により、
\begin{equation}
f_n (1) = 2f_{n -1} (1) = \cdots = 2^{n -1} f_1 (1) = 2^{n -1}
\end{equation}なので、 $n \to \infty$ のとき $f_n (1)$ は収束しません。

また、いかなる $n \geqq 2$ に対しても
\begin{equation}
f_n (-1) = 0 \times f_{n -1} (1) = 0
\end{equation}となります。

$x \ne 1$ の場合、
\begin{equation}
f_n (x) = \frac{1 -x^{2^{n -1}}}{1 -x}
\end{equation}とできます。 $n \to \infty$ としたとき $f_n (x)$ が収束する範囲は
\begin{equation}
-1 < x < 1
\end{equation}です。