2000年前期京大文系第5問別解

$a$ を実数とする。 $x$ の2次方程式 $x^2 -ax = \displaystyle 2 \int_0^1 |t^2 -at | \, dt$ は、 $0 \leqq x \leqq 1$ の範囲にいくつの解をもつか。

解答例
解説

解答例

\begin{equation}
I = \int_0^1 |t^2 -at| \, dt
\end{equation}とします。
\begin{equation}
y = x^2 -ax \tag{1}
\end{equation}と
\begin{equation}
y = 2I \tag{2}
\end{equation}の交点の個数を考えます。

(i) $a \leqq 0$ の場合
\begin{eqnarray}
I &=& \int_0^1 (t^2 -at) \, dt \\
&=& \left[ \frac{1}{3} \, t^3 -\frac{1}{2} \, at^2 \right]_0^1 \\
&=& -\frac{1}{2} \, a +\frac{1}{3} > 0 \\
2I &=& -a +\frac{2}{3}
\end{eqnarray}です。
式(1)は区間[0, 1]で単調増加であり、点 $(0,0), \ (1, \, 1 -a)$ を通るので、 $1 -a$ と $2I$ の大小を比較します。
\begin{eqnarray}
(1 -a) -2I &=& 1 -a +a -\frac{2}{3} \\
&=& \frac{1}{3} > 0
\end{eqnarray}なので、(1), (2)の交点は1つです。

(ii) $a \geqq 1$ の場合
\begin{eqnarray}
I &=& \int_0^1 (-t^2 +at) \, dt \\
&=& \left[ -\frac{1}{3} \, t^3 +\frac{1}{2} \, at^2 \right]_0^1 \\
&=& \frac{1}{2} \, a -\frac{1}{3} > 0 \\
2I &=& a -\frac{2}{3}
\end{eqnarray}式(1)は区間[0, 1]で0または負のため、(2)と交点を持ちません。

(iii) $0 < a < 1$ の場合
\begin{eqnarray}
I &=& \int_0^a (-t^2 +at) \, dt +\int_a^1 (t^2 -at) \, dt \\
&=& \left[ -\frac{1}{3} \, t^3 +\frac{1}{2} \, at^2 \right]_0^a +\left[ \frac{1}{3} \, t^3 -\frac{1}{2} \, at^2 \right]_a^1\\
&=& -\frac{1}{3} \, a^3 +\frac{1}{2} \, a^3 +\frac{1}{3} -\frac{1}{2} \, a -\frac{1}{3} \, a^3 +\frac{1}{2} \, a^3 \\
&=& \frac{1}{3} \, a^3 -\frac{1}{2} \, a +\frac{1}{3}
\end{eqnarray} $I > 0$ なので、(1), (2)が交わるかどうかは $x^2 -ax > 0$ となる $a < x < 1$ の範囲で考えることで良いです。したがって、 $1 -a$ と $2I$ の大小を評価します。
\begin{equation}
(1 -a) -2I = \frac{2}{3} \, a^3 +\frac{2}{3}
\end{equation}

(iii)-a $0 < a \leqq \displaystyle \frac{1}{\sqrt [ 3 ] {2}}$ の場合
\begin{equation}
1 -a \geqq 2I
\end{equation}なので、(1), (2)は $0 \leqq x \leqq 1$ に交点を1つ持ちます。