ド・モアブルの定理
\begin{equation}
(\cos \theta +i\sin \theta)^n = \cos n\theta +i\sin n\theta
\end{equation}
なお、は虚数単位です。
\begin{equation}
\cos \theta +i\sin \theta
\end{equation}をべき乗(冪乗)とすると、べき乗部分が三角関数の引数の倍数に来るというものです。
オイラーの定理
オイラーの公式の証明 - 数式で独楽する
\begin{equation}
e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta \tag{1}
\end{equation}を利用すると証明は容易です。
式(1)を単純に乗します。
\begin{equation}
e^{in\theta} = (\cos \theta +i\sin \theta)^n \tag{2}
\end{equation}
一方、式(2)の左辺は
\begin{equation}
e^{in\theta} = \cos n\theta +i\sin n\theta \tag{3}
\end{equation}となります。
式(2), (3)を比較して
\begin{equation}
(\cos \theta +i\sin \theta)^n = \cos n\theta +i\sin n\theta
\end{equation}を得ます。
