逆余弦関数の不定積分
\begin{equation}
\int \cos^{-1} x \, dx = x \cos^{-1} x -\sqrt{1 -x^2} +C
\end{equation}は積分定数です。
逆余弦関数の不定積分は、部分積分と置換積分を駆使して求めることができます。
部分積分 - 数式で独楽する
置換積分 - 数式で独楽する
求めるにあたり、一旦、逆余弦関数を積分で表すことになります。
\begin{equation}
\cos^{-1} x = \int_x^1 \frac{dt}{\sqrt{1 -t^2}}
\end{equation}
角の大きさを表現する その1 - 数式で独楽する
逆三角関数の定積分表現 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\int \cos^{-1} x \, dx &=& \int \left( \int_x^1 \frac{dt}{\sqrt{1 -t^2}} \right) dx \\
&=& x \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1 -t^2}} +\int \frac{x \, dx}{\sqrt{1 -x^2}}
\end{eqnarray}
2行目の第2項について
\begin{equation}
1 -x^2 = u^2
\end{equation}とおくと、
\begin{equation}
-x \, dx = u \, du
\end{equation}なので
\begin{eqnarray}
\int \frac{x \, dx}{\sqrt{1 -x^2}} &=& -\int du
&=& -u +C \\
&=& -\sqrt{1 -x^2} +C
\end{eqnarray}となります。
よって
\begin{equation}
\int \cos^{-1} x \, dx = x \cos^{-1} x -\sqrt{1 -x^2} +C
\end{equation}を得ます。
