東大1970年理科第1問 - 数式で独楽する

$i$ を虚数単位とし、 $a= \displaystyle \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ とおく。また $n$ はすべての自然数にわたって動くとする。このとき、
(1) $a^n$ は何個の異なる値をとり得るか。
(2) $\displaystyle \frac{(1-a^n)(1-a^{2n})(1-a^{3n})(1-a^{4n})(1-a^{5n})}{(1-a)(1-a^2)(1-a^3)(1-a^4)(1-a^5)}$ の値を求めよ。

小問(1)の解答例

\begin{eqnarray}
a &=& e^{\pi i/3} \\
a^3 &=& -1 \\
a^6 &=& 1
\end{eqnarray}です。
指数関数の級数展開とオイラーの公式 - 数式で独楽する

以下、 $n$ を6で割ると $r$ 余る $n \equiv r \mod 6$ を単に $n \equiv r$ と表すことにします。 $a^n$ の値は次のようになります。
\begin{equation}
a^n = \left \{ \begin{array}{llll}
1 &&& (\mbox{if} \ n \equiv 0) \\
a & = e^{\pi i/3} & = \frac{1 + \sqrt{3} \, i}{2} & (\mbox{if} \ n \equiv 1) \\
a^2 & = e^{2 \pi i/3} & = \frac{-1 + \sqrt{3} \, i}{2} & (\mbox{if} \ n \equiv 2) \\
a^3 & = e^{\pi i} & = -1 & (\mbox{if} \ n \equiv 3) \\
a^4 & = e^{4 \pi i/3} & = \frac{-1 - \sqrt{3} \, i}{2} & (\mbox{if} \ n \equiv 4) \\
a^5 & = e^{5 \pi i/3} & = \frac{-1 + \sqrt{3} \, i}{2} & (\mbox{if} \ n \equiv 5)
\end{array} \right.
\end{equation}
以上、 $a^n$ は6個の異なる値をとり得ます。

小問(2)の解答例

求める値を $k$ とします。
小問(1)の結果より、次のようになります。

(i) $n \equiv 0$ の場合
\begin{eqnarray}
a^n &=& 1 \\
\therefore \quad k &=& 0
\end{eqnarray}

(ii) $n \equiv 1$ の場合
\begin{eqnarray}
a^n &=& a \\
a^{2n} &=& a^2 \\
a^{3n} &=& a^3 \\
a^{4n} &=& a^4 \\
a^{5n} &=& a^5 \\
\therefore \quad k &=& 1
\end{eqnarray}

(iii) $n \equiv 2$ の場合
\begin{eqnarray}
a^{3n} &=& a^6 = 1 \\
\therefore \quad k &=& 0
\end{eqnarray}

(iv) $n \equiv 3$ の場合
\begin{eqnarray}
a^{2n} &=& a^6 = 1 \\
\therefore \quad k &=& 0
\end{eqnarray}

(v) $n \equiv 4$ の場合
\begin{eqnarray}
a^{3n} &=& a^{12} = 1 \\
\therefore \quad k &=& 0
\end{eqnarray}

(vi) $n \equiv 5$ の場合
\begin{eqnarray}
a^n &=& a^5 \\
a^{2n} &=& a^{10} = a^4 \\
a^{3n} &=& a^{15} = a^3 \\
a^{4n} &=& a^{20} = a^2 \\
a^{5n} &=& a^{25} = a \\
\therefore \quad k &=& 1
\end{eqnarray}

以上より、
\begin{equation}
k = \left \{ \begin{array}{ll}
0 & (\mbox{if} \ n \equiv 0,2,3,4 \mod 6) \\
1 & (\mbox{if} \ n \equiv 1,5 \mod 6)
\end{array} \right.
\end{equation}を得ます。