濃縮問題の補足 その4

濃縮問題
濃縮問題 - 数式で独楽する

容積がVの容器いっぱいに濃度がCの溶液が入っている。
この容器に流量Qで濃度がの液体を注入し、同じ流量で排出する系を考える。

時刻t=0の時の濃度をとするとき、

• 時刻tの濃度を求めよ。
• 濃度をとする場合の注入量を求めよ。

で出て来た微分方程式
\begin{equation}
V \frac{dC}{dt} = Q(C_0 -C) \tag{1}
\end{equation}を幾つかの手法で解いていきます。
本稿はその4つ目です。上手いこと置き換えれば簡単になる例です。

定数を微分すると0なので、式(1)は次のように変形できます。
\begin{equation}
-V \, \frac{d}{dt}(C_0 -C) = Q(C_0 -C)
\end{equation}もう少し変形します。
\begin{equation}
\frac{d}{dt}(C_0 -C) = -\frac{Q}{V}(C_0 -C)
\end{equation}
これを解くと、
\begin{equation}
C_0 -C = -A \, e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{Q}{V}\ t $}} \quad (A:任意定数)
\end{equation}となります。*1

以上より、式(1)の一般解は、
\begin{equation}
C = C_0 + A \ e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{Q}{V}\ t $}} \quad (A: 任意定数)
\end{equation}となります。

*1:他の解き方と結果が同じになるように、意図的にマイナスを付けています。