濃縮問題
濃縮問題 - 数式で独楽する
容積がVの容器いっぱいに濃度がCの溶液が入っている。
この容器に流量Qで濃度がの液体を注入し、同じ流量で排出する系を考える。
時刻t=0の時の濃度を
とするとき、
- 時刻tの濃度を求めよ。
- 濃度を
とする場合の注入量を求めよ。
で出て来た微分方程式
\begin{equation}
V \frac{dC}{dt} = Q(C_0 -C) \tag{1}
\end{equation}を幾つかの手法で解いていきます。
本稿はその1つ目です。
式(1)を少し変形します。
\begin{equation}
\frac{dC}{dt} + \frac{Q}{V} \ C = \frac{Q}{V}\ C_0 \tag{2}
\end{equation}
非斉次線型1階微分方程式 その1 - 数式で独楽する
の手法で解いていきます。
式(2)の両辺にを掛けます。*1
\begin{equation}
e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{Q}{V}\ t $}} \ \frac{dC}{dt} + \frac{Q}{V} \ e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{Q}{V}\ t $}} C = \frac{Q}{V}\ C_0 \ e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{Q}{V}\ t $}}
\end{equation}左辺は積の微分の形になっており、
\begin{equation}
\frac{d}{dt} \left( e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{Q}{V}\ t $}} \ C \right) = \frac{Q}{V} \ C_0 \ e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{Q}{V}\ t $}}
\end{equation}に変形できます。
積の微分 - 数式で独楽する
両辺を直接積分できる形になっています。積分してみましょう。
\begin{equation}
e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{Q}{V}\ t $}}\ C = C_0 \ e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{Q}{V}\ t $}} + A \quad (A: 任意定数)
\end{equation}両辺にを掛けると、式(1)の一般解
\begin{equation}
C = C_0 + A \ e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{Q}{V}\ t $}}
\end{equation}を得ます。
*1:式(2)を \begin{equation} \frac{dC}{dt} + P(t)C = Q(t) \end{equation}と対応させると \begin{equation} P(t) = \frac{Q}{V} \end{equation}です。これより \begin{equation} f(t) = \int P(t)dt =\frac{Q}{V} \ t \end{equation}です。両辺に掛けるのは、 \begin{equation} e^{f(t)} = e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{Q}{V}\ t $}} \end{equation}です。
