容積がVの容器いっぱいに濃度がCの溶液が入っている。
この容器に流量Qで濃度が0の液体を注入し、同じ流量で排出する系を考える。時刻t=0の時の濃度を
とするとき、
- 時刻tの濃度を求めよ。
- 濃度を
とする場合の注入量を求めよ。*1
文章題ですが、落ち着いて考えていきましょう。
図にするとこんな感じです。
系の溶質*2の量の時間的変化を考えます。
まず、濃度の時間的変化はなので、溶質の量の時間的変化は
\begin{equation}
V \frac{dC}{dt} \tag{1}
\end{equation}です。
次に、溶質の収支を考えます。
単位時間に系に入る溶質の量は0です。
単位時間に系から出て行く溶質の量はです。
よって単位時間における溶質の収支は
\begin{equation}
-QC \tag{2}
\end{equation}です。
式(1)と式(2)は同じものであるので、
\begin{equation}
V \frac{dC}{dt} = -QC \tag{3}
\end{equation}となります。
このように、書いてある文章を数式の形に書くことができれば、文章題は解けたも同然です。*3
式(3)を解くと、一般解は
\begin{equation}
C = A\ e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{Q}{V}\ t $}} \quad (A: 任意定数)
\end{equation}となります。解き方は
変数分離形の例 その4 - 数式で独楽する
を参照ください。*4
時刻t=0の時、濃度はなので、任意定数は
となります。
よって、時刻tの系の濃度は、
\begin{equation}
C = C_\mathrm{i} \ e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{Q}{V}\ t $}} \tag{4}
\end{equation}となります。
系の溶質の濃度がとなる時、式(4)より、
\begin{eqnarray}
C_\mathrm{f} &=& C_\mathrm{i} \ e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{Q}{V}\ t $}} \\
\frac{C_\mathrm{i}}{C_\mathrm{f}} &=& e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{Q}{V}\ t $}} \\
\log \frac{C_\mathrm{i}}{C_\mathrm{f}} &=& \frac{Q}{V}\ t
\end{eqnarray}
となります。求める注入量Qtは、
\begin{equation}
Qt = V \log \frac{C_\mathrm{i}}{C_\mathrm{f}}
\end{equation}となります。
まとめると、次の通りです。
- 時刻tの濃度
\begin{equation}
C = C_\mathrm{i} \ e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{Q}{V}\ t $}}
\end{equation}
- 濃度を
\begin{equation}
Qt = V \log \frac{C_\mathrm{i}}{C_\mathrm{f}}
\end{equation}
*1:体積Vはvolume、濃度Cはconcentrationです。流量のQはたぶん量のquantityです。添字iは初期のinitial、添字fは最終のfinalです。
*2:「溶媒」は溶質を溶かす液体、食塩水で言うと水に相当します。 「溶質」は溶媒に溶かされる物質、食塩水で言うと食塩に相当します。 「溶液」は溶質を溶媒に溶かしてできる液体です。食塩水で言うと食塩水そのものです。
*3:文章を正しく数式に起こせるかどうかは別の問題です。念のため。
*4:式変形は \begin{eqnarray} \frac{dC}{C} &=& - \frac{Q}{V} \ dt \\ \int \frac{dC}{C} &=& - \frac{Q}{V} \int dt \\ \log |C| &=& - \frac{Q}{V} \ t + B \quad (B: 任意定数) \\ |C| &=& e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{Q}{V}\ t +B $}} \\ C &=& \pm e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{Q}{V}\ t + B $}} \\ C &=& A\ e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{Q}{V}\ t $}} \quad (\because A = \pm e^B) \end{eqnarray} で、A=0の場合も明らかに成り立つので、Aは任意定数です。
