対数関数を
\begin{equation}
\log x := \int_1^x \frac{dt}{t} \tag{1}
\end{equation}で定義する考え方があります。
式(1)で定義した関数が、対数関数の性質を持ち、その他の関係を満たしているかどうかを確かめていきます。
本稿はその3つ目です。
\begin{equation}
\log x^r = r \log x \tag{2}
\end{equation}を満たすことを確かめます。
式(1)より
\begin{equation}
\log x^r = \int_1^{x^r} \frac{dt}{t} \tag{3}
\end{equation}です。ここで、
\begin{equation}
t = u^r
\end{equation}と置きます。
\begin{equation}
dt = ru^{r-1} du
\end{equation}なので
\begin{equation}
\frac{dt}{t} = \frac{ru^{r-1}du}{u^r} = \frac{r \, du}{u}
\end{equation}です。
また、積分範囲
\begin{equation}
1 \leqq t \leqq x^r
\end{equation}は
\begin{equation}
1 \leqq u \leqq x
\end{equation}となります。
よって、式(3)は、
\begin{equation}
\log x^r = r \int_1^x \frac{du}{u}
\end{equation}となります。
ここで式(1)を用いると、
\begin{equation}
\log x^r = r \log x
\end{equation}を得ます。
以上より、
\begin{equation}
\log x := \int_1^x \frac{dt}{t} \tag{1}
\end{equation}で定義するlogは、べき乗を定数倍に変換する性質を持ち、私たちの知っている対数関数と同じ性質を持っていることが分かります。
