行列に対する行列式を
や
と表します。
行列であるとき、
\begin{eqnarray}
\det A = |A| &=& |\boldsymbol{a}_1 \quad \cdots \quad \boldsymbol{a}_n | \\
&=& \left| \begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{array} \right|
\end{eqnarray}とも表します。
行列式は、
\begin{equation}
\det A = |A| = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)1} a_{\sigma(2)2} \cdots a_{\sigma(n)n}
\end{equation}と定義します。
行列式 - 数式で独楽する
いずれかの列が2ベクトルの和となっている場合の行列式は、2ベクトルを分割した2行列の行列式の和となります。
\begin{equation}
|\cdots \quad \boldsymbol{a}_k+ \boldsymbol{a} '_k \quad \cdots| = |\cdots \quad \boldsymbol{a}_k \quad \cdots| + |\cdots \quad \boldsymbol{a}'_k \quad \cdots|
\end{equation}です。
の部分は左辺と右辺で変わりません。
定義に従って計算すると証明できます。
\begin{eqnarray}
|\cdots \quad \boldsymbol{a}_k + \boldsymbol{a}'_k \quad \cdots|
&=& \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)1} \cdots (a_{\sigma(k)k} + a'_{\sigma{k}k}) \cdots a_{\sigma(n)n} \\
&=& \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)1} \cdots a_{\sigma(k)k} \cdots a_{\sigma(n)n} + \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)1} \cdots a'_{\sigma(k)k} \cdots a_{\sigma(n)n} \\
&=& |\cdots \quad \boldsymbol{a}_k \quad \cdots| + |\cdots \quad \boldsymbol{a}'_k \quad \cdots|
\end{eqnarray}
となります。
