エディントンのイプシロンあれこれ ε_{ijk}ε_{lmn}

エディントンEddingtonのイプシロン　または
レヴィ·チヴィタLevi-Civita記号は、

\begin{equation}
\epsilon_{ijk} = \left \{ \begin{array}{rl}
1 & (i,j,k) = (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2) \\
-1 & (i,j,k) = (3,2,1), (2,1,3), (1,3,2) \\
0 & \mbox{otherwise}
\end{array} \right.
\end{equation}を満たすテンソルです。要素が3つあり、3階のテンソルといいます。
成分は3×3×3=27個です。
エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号 - 数式で独楽する

エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号の性質を紹介していきます。
本稿では、アインシュタインの縮約記法を用います。
本稿のは全てクロネッカーのデルタ
クロネッカーのデルタ - 数式で独楽する
です。

\begin{equation}
\epsilon_{ijk}\, \epsilon_{lmn} = \left| \begin{array}{lll}
\delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in} \\
\delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn} \\
\delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn}
\end{array} \right|
\end{equation}

証明は以下の通りです。

まず、を行列式で表します。
\begin{eqnarray}
\epsilon_{ijk} \, \epsilon_{lmn} &=& \left| \begin{array}{lll}
\delta_{1i} & \delta_{2i} & \delta_{3i} \\
\delta_{1j} & \delta_{2j} & \delta_{3j} \\
\delta_{1k} & \delta_{2k} & \delta_{3k}
\end{array} \right|
\left| \begin{array}{lll}
\delta_{1l} & \delta_{2l} & \delta_{3l} \\
\delta_{1m} & \delta_{2m} & \delta_{3m} \\
\delta_{1n} & \delta_{2n} & \delta_{3n}
\end{array} \right| \\
&=& \left| \begin{array}{lll}
\delta_{1i} & \delta_{2i} & \delta_{3i} \\
\delta_{1j} & \delta_{2j} & \delta_{3j} \\
\delta_{1k} & \delta_{2k} & \delta_{3k}
\end{array} \right|
\left| \begin{array}{lll}
\delta_{1l} & \delta_{1m} & \delta_{1n} \\
\delta_{2l} & \delta_{2m} & \delta_{2n} \\
\delta_{3l} & \delta_{3m} & \delta_{3n}
\end{array} \right| \\
&=& \left| \left( \begin{array}{lll}
\delta_{1i} & \delta_{2i} & \delta_{3i} \\
\delta_{1j} & \delta_{2j} & \delta_{3j} \\
\delta_{1k} & \delta_{2k} & \delta_{3k}
\end{array} \right)
\left( \begin{array}{lll}
\delta_{1l} & \delta_{1m} & \delta_{1n} \\
\delta_{2l} & \delta_{2m} & \delta_{2n} \\
\delta_{3l} & \delta_{3m} & \delta_{3n}
\end{array} \right) \right|
\end{eqnarray}
途中、

• 行と列を入れ替えても行列式の値は変わらない
• 行列式の積は、行列の積の行列式に等しい

ということを用いています。

ここで、
の場合、
\begin{equation}
\delta_{p1} \delta_{p1} = \delta_{11} \delta_{11} = 1
\end{equation}です。
の場合、どちらか一方の添字が揃わなくなり、
\begin{equation}
\delta_{p1} \delta_{p2} = 0
\end{equation}です。
他のの場合をまとめて、
\begin{equation}
\delta_{pi} \delta_{pl} = \delta_{il}
\end{equation}となります。
添字をに、添字をに入れ替えても同様です。

よって、
\begin{equation}
\epsilon_{ijk} \, \epsilon_{lmn} = \left| \begin{array}{lll}
\delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in} \\
\delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn} \\
\delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn}
\end{array} \right|
\end{equation}を得ることができます。