エディントンEddingtonのイプシロン または
レヴィ·チヴィタLevi-Civita記号は、
\begin{equation}
\epsilon_{ijk} = \left \{ \begin{array}{rl}
1 & (i,j,k) = (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2) \\
-1 & (i,j,k) = (3,2,1), (2,1,3), (1,3,2) \\
0 & \mbox{otherwise}
\end{array} \right.
\end{equation}を満たすテンソルです。要素が3つあり、3階のテンソルといいます。
成分は3×3×3=27個です。
エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号 - 数式で独楽する
エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号の性質を紹介していきます。
本稿では、アインシュタインの縮約記法を用います。
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
本稿の$\delta_{ij}$は全てクロネッカーのデルタです。
クロネッカーのデルタ - 数式で独楽する
\begin{equation}
\epsilon_{ijk} = \left| \begin{array}{ccc}
\delta_{1i} & \delta_{2i} & \delta_{3i} \\
\delta_{1j} & \delta_{2j} & \delta_{3j} \\
\delta_{1k} & \delta_{2k} & \delta_{3k}
\end{array} \right|
\end{equation}
証明は以下の通りです。
基底ベクトル
\begin{equation}
\boldsymbol{e}_1 = \left( \begin{array}{c} 1\\ 0 \\ 0 \end{array} \right), \ \boldsymbol{e}_2 = \left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 0 \end{array} \right), \
\boldsymbol{e}_3 = \left( \begin{array}{c} 0\\ 0 \\ 1 \end{array} \right)
\end{equation}に対し、
内積(スカラー積)は
\begin{equation}
\boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{e}_j = \delta_{ij}
\end{equation}です。
外積(ベクトル積)は
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_1 \times \boldsymbol{e}_2 = \boldsymbol{e}_3, & \quad &
\boldsymbol{e}_2 \times \boldsymbol{e}_1 = -\boldsymbol{e}_3 \\
\boldsymbol{e}_2 \times \boldsymbol{e}_3 = \boldsymbol{e}_1, & \quad &
\boldsymbol{e}_3 \times \boldsymbol{e}_2 = -\boldsymbol{e}_1 \\
\boldsymbol{e}_3 \times \boldsymbol{e}_1 = \boldsymbol{e}_2, & \quad &
\boldsymbol{e}_1 \times \boldsymbol{e}_3 = -\boldsymbol{e}_2
\end{eqnarray}で
\begin{equation}
\boldsymbol{e}_j \times \boldsymbol{e}_k = \left| \begin{array}{ccc}
\boldsymbol{e}_1 & \boldsymbol{e}_2 & \boldsymbol{e}_3 \\
\delta_{1j} & \delta_{2j} & \delta_{3j} \\
\delta_{1k} & \delta_{2k} & \delta_{3k}
\end{array} \right|
\end{equation}と表すことができます。
これより、基底ベクトル同士のスカラー3重積は、エディントンのイプシロンで表すことができます。
\begin{equation}
\boldsymbol{e}_i \cdot (\boldsymbol{e}_j \times \boldsymbol{e}_k) = \epsilon_{ijk}
\end{equation}
したがって、
\begin{eqnarray}
\epsilon_{ijk} &=& \boldsymbol{e}_i \cdot (\boldsymbol{e}_j \times \boldsymbol{e}_k) \\
&=& (\delta_{1i} \boldsymbol{e}_1 + \delta_{2i} \boldsymbol{e}_2 + \delta_{3i} \boldsymbol{e}_3) \cdot \left| \begin{array}{ccc}
\boldsymbol{e}_1 & \boldsymbol{e}_2 & \boldsymbol{e}_3 \\
\delta_{1j} & \delta_{2j} & \delta_{3j} \\
\delta_{1k} & \delta_{2k} & \delta_{3k}
\end{array} \right| \\
&=& \left| \begin{array}{ccc}
\delta_{1i} & \delta_{2i} & \delta_{3i} \\
\delta_{1j} & \delta_{2j} & \delta_{3j} \\
\delta_{1k} & \delta_{2k} & \delta_{3k}
\end{array} \right|
\end{eqnarray}となります。
