未知数
に関する方程式
が虚軸上の複素数解を持つような実数
をすべて求めよ。
解答例
該当する解を
\begin{equation}
x = iy \quad (y \in \mathbb{R}) \tag{0}
\end{equation}とします。
元の方程式に代入すると、
\begin{equation}
iy^5 +y^4 +iy^3 -y^2 -(a +1) \, iy +a = 0
\end{equation}つまり
\begin{equation}
\left( y^4 -y^2 +a \right) +i \left \{ y^5 +y^3 -(a -1)\, y \right \} = 0
\end{equation}を得ます。
これより、
\begin{equation}
y^4 -y^2 +a = 0 \tag{1}
\end{equation}かつ
\begin{equation}
y^5 +y^3 -(a +1) \, y = 0 \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。
複素数の一致 - 数式で独楽する
式(2)は
\begin{equation}
y \, \left \{ y^4 +y^2 -(a +1) \right \} = 0
\end{equation}なので、
\begin{equation}
y = 0 \tag{3}
\end{equation}または
\begin{equation}
y^4 +y^2 -(a +1) = 0 \tag{4}
\end{equation}が成り立ちます。
式(1), (3)より、
\begin{equation}
a = 0 \tag{5}
\end{equation}を得ます。
また、式(1), (4)より
\begin{equation}
2y^4 = 1
\end{equation}です。を考慮して、
\begin{eqnarray}
y^4 &=& \frac{1}{2} \\
y^2 &=& \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{eqnarray}となります。
これを式(1)に代入し、
\begin{eqnarray}
a &=& y^2 -y^4 \\
&=& \frac{\sqrt{2} -1}{2}
\end{eqnarray}を得ます。
式(5), (6)より、求めるは
\begin{equation}
a = 0, \ \frac{\sqrt{2} -1}{2}
\end{equation}です。
解説
「虚軸上の複素数解」とあるので、素直に式(0)とします。
すると実部と虚部でそれぞれ方程式ができるので、それを解くことになります。
解くにあたり、
\begin{equation}
A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
\end{equation}としています。
文系に類似の問題があります。
文系問題は4次方程式、理系問題は5次方程式ですが、実部と虚部に分けてからの処理は理系の方が簡単な気がします。
2001年前期 京大 文系 第1問 - 数式で独楽する
