ベクトルに対し、
\begin{eqnarray}
\mathrm{div} \, \mathrm{rot} \, \boldsymbol{A} &=& 0 \\
\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{A}) &=& 0
\end{eqnarray}
が成り立ちます。
アインシュタインの縮約記法
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
エディントンのイプシロンまたはレヴィ・チヴィタ記号
エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号 - 数式で独楽する
内線と外積の表記
ベクトルの内積 - 数式で独楽する
ベクトルの外積 - 数式で独楽する
を用い、求めていきます。
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{A}) &=& \frac{\partial}{\partial x_i} (\nabla \times \boldsymbol{A})_i \\
&=& \frac{\partial}{\partial x_i} \, \epsilon_{ijk} \, \frac{\partial}{\partial x_j} \, A_k \\
&=& \epsilon_{ijk} \left( \frac{\partial^2 A_k}{\partial x_i \, \partial x_j} - \frac{\partial^2 A_k}{\partial x_j \, \partial x_i} \right)
\end{eqnarray}となります。
さて、実用上、多くの場合で偏微分は交換可能であるため、
\begin{equation}
\frac{\partial^2 A_k}{\partial x_i \, \partial x_j} - \frac{\partial^2 A_k}{\partial x_j \, \partial x_i} = 0
\end{equation}です。
偏微分の順序交換 - 数式で独楽する
したがって、
\begin{equation}
\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{A}) = 0
\end{equation}が成り立ちます。
