一橋大 2013年文系第1問 - 数式で独楽する

\begin{equation}
3p^3 -p^2q -pq^2 +3q^3 = 2013
\end{equation}の自然数解を求めよ。

出題された年の2013が入った整数問題です。
左辺が因数分解できそうな形です。右辺も3の倍数です。*1
上手にやれば、$p,q$の組合せは限定されることが予想できます。

以下、答案です。

\begin{eqnarray}
3p^3 -p^2 q -pq^2 + 3q^3 &=& (p+q)(3p^2 -4pq +3q^2) \\
&=& (p+q) \left \{ 3(p+q)^2 -10pq \right \} \\
2013 &=& 3 \times 11 \times 61
\end{eqnarray}なので、与式は
\begin{equation}
(p+q) \left \{ 3(p+q)^2 -10pq \right \} = 3 \times 11 \times 61
\end{equation}となります。

$p,q$は自然数なので、 $p+q$ は8通りとなります。*2

$p+q=1$ の場合

$p,q$は自然数なので、この条件は成立しません。

$p+q=3$ の場合

$(p,q)=(1,2),(2,1)$ なので $pq=2$ です。
\begin{equation}
3(p+q)^2 -10pq = 7
\end{equation}なので左辺は21となり、等式は成り立ちません。

$p+q=11$ の場合

\begin{equation}
3(p+q)^2 -10pq = 363 -10pq = 183
\end{equation}より
\begin{equation}pq = 18
\endequation{}です。よって自然数解は、
\begin{equation}
(p,q) = (2,9),(9,2)
\end{equation}です。

$p+q=61$ の場合

\begin{eqnarray}
3(p+q)^2 -10pq &=& 11163 - 10pq = 33 \\
pq &=& 1113 = 3 \times 7 \times 53
\end{eqnarray}です。 $p+q=61$ を満たす $p,q$ はありません。

$p+q=3 \times 11=33$ の場合

\begin{equation}
3(p+q)^2 -10pq = 3267 -10pq =61
\end{equation}です。$pq$は自然数なので、この式を満たし得ません。

$p+q=183=3 \times 61$ の場合

\begin{equation}
3(p+q)^2 -10pq = 100467 -10pq = 11
\end{equation}を満たす自然数$pq$はありません。

$p+q=671=11\times 61$ の場合

\begin{eqnarray}
3(p+q)^2 -10pq &=& 1350723 -10pq = 3 \\
pq &=& 135072 = 2^5 \times 3^2 \times 7 \times 67
\end{eqnarray}です。 $p+q=671$ を満たす$pq$はありません。