本稿では、
\begin{eqnarray}
x &=& r \cos \theta \\
y &=& r \sin \theta \\
z &=& z \tag{1}
\end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$の発散について述べます。
ベクトルの発散 - 数式で独楽する
極座標 - 数式で独楽する
2次元極座標系の発散
2次元極座標系の発散 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r A_r) + \frac{1}{r} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta}
\end{equation}から、容易に導くことができます。
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot \boldsymbol{A} &=& \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \\
&=& \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r A_r) + \frac{1}{r} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial A_z}{\partial z}
\end{eqnarray}
