本稿では、
\begin{eqnarray}
x &=& r \cos \theta \\
y &=& r \sin \theta \\
z &=& z \tag{1}
\end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$の発散について述べます。
ここでは、ベクトルの内積のように導きます。
ベクトルの発散 - 数式で独楽する
ベクトルの内積 - 数式で独楽する
極座標 - 数式で独楽する
円柱座標系のナブラとベクトルはそれぞれ
\begin{eqnarray}
\nabla &=& \boldsymbol{e}_r \, \frac{\partial}{\partial r} + \boldsymbol{e}_\theta \, \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} + \boldsymbol{k} \, \frac{\partial}{\partial z} \tag{2} \\
\boldsymbol{A} &=& A_r \,\boldsymbol{e}_r + A_\theta \, \boldsymbol{e}_\theta + A_z \, \boldsymbol{k} \tag{3}
\end{eqnarray}で表します。
3次元円柱座標系の勾配 - 数式で独楽する
3次元円柱座標系のベクトル - 数式で独楽する
これより、直接、内積を求めるようにしていきます。ただし、単位ベクトルの偏微分に注意して計算していきます。
3次元円柱座標系の単位ベクトルの偏微分 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot \boldsymbol{A}&=& \left( \boldsymbol{e}_r \, \frac{\partial}{\partial r} + \boldsymbol{e}_\theta \, \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} + \boldsymbol{k} \, \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot (A_r \, \boldsymbol{e}_r + A_\theta \, \boldsymbol{e}_\theta + A_z) \, \boldsymbol{k} \\
&=& \frac{\partial A_r}{\partial r} + \frac{1}{r} \, A_r + \frac{1}{r} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \\
&=& \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r A_r) + \frac{1}{r} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial A_z}{\partial z}
\end{eqnarray}
計算量は少ないです。
