四面体ABCDはAC=BD, AD=BCを満たすとし、辺ABの中点をP、辺CDの中点をQとする。
(1) 辺ABと線分PQは垂直であることを示せ。
(2) 線分PQを含む平面αで四面体ABCDを切って2つの部分に分ける。このとき、2つの部分の体積は等しいことを示せ。
続きです。
小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
平面αが、辺AD上の点Rを通るものとします。(*)
なお、平面αが
- 辺ACを通る場合、以下の文章でCとDを入れ替える。
- 辺BDを通る場合、AとBを入れ替える。
- 辺BCを通る場合、AとB、CとDをそれぞれ入れ替える。
とすればよく、上記(*)の仮定をしても一般性を失いません。
平面PQRは平面αそのものであり、
- RQは直線で、辺ACの延長との交点をT、
- PTは直線で、辺BCとの交点をS
とします。さらに、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AR}} &=& r \, \overrightarrow{\mathrm{AD}} \\
\overrightarrow{\mathrm{BS}} &=& s \, \overrightarrow{\mathrm{BC}} \\
\overrightarrow{\mathrm{AT}} &=& t \, \overrightarrow{\mathrm{AC}} \\
\end{eqnarray}とします。
(i) 0 < r < 1/2, 1/2 < r <1の場合
(ii) r=0の場合
四面体ABCDは平面ABQで切断され、四面体ABQCとABQDができます。
2つの四面体は底面ABQを共有しています。
さらにQC=QDなので高さも等しくなります。
よって、四面体ABCDは平面ABQにより2等分されます。
(iii) r=1の場合
四面体ABCDは平面CDPで切断され、四面体ACDPとBCDPができます。
2つの四面体は底面CDPを共有しています。
さらにPA=PBなので高さも等しくなります。
よって、四面体ABCDは平面ABQにより2等分されます。
小問(2).(ii), (iii)の場合の解説
メネラウスの定理が使えない形です。
線分PQと両端のいずれかの辺でできる平面で、四面体ABCDが切断されるパターンです。
切断の様子をきちんとイメージできれば、2等分されることは容易に分かります。
