一次独立の固有ベクトル、共通の固有値

行列$A$で記述される一次変換について、
\begin{equation}
A \boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v}
\end{equation}となるような定数$\lambda$とベクトルが存在するとき、

• $\lambda$を「固有値」
• を「固有ベクトル」

といいます。
固有値・固有ベクトル - 数式で独楽する
固有ベクトルと一次変換 - 数式で独楽する

行列$A$が2行2列で、一次独立なるベクトルが
\begin{eqnarray}
A \boldsymbol{u} &=& \lambda \boldsymbol{u} \tag{1} \\
A \boldsymbol{v} &=& \lambda \boldsymbol{v} \tag{2}
\end{eqnarray}の場合、
\begin{equation}
A = \lambda I
\end{equation}となります。ここで$I$は単位行列です。

式(1), (2)を並べて、
\begin{equation}
A (\boldsymbol{u} \ \boldsymbol{v}) = \lambda (\boldsymbol{u} \ \boldsymbol{v}) \tag{3}
\end{equation}と書けます。
ここで、なので、は逆行列を持ちます。

式(3)の右からを掛けると、
\begin{equation}
A = \lambda I
\end{equation}を得ます。

なお、であれば、
\begin{equation}
A = I
\end{equation}です。