本稿では、
$n$が正の整数または0のとき
\begin{eqnarray}
\int_{-L}^L \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx &=& \left \{ \begin{array}{cl}
2L & (n=0) \\
0 & (n=1,2, \cdots)
\end{array} \right. \tag{1} \\
\int_{-L}^L \sin \frac{n \pi x}{L} \, dx &=& 0 \tag{2}
\end{eqnarray}
を確認していきます。
式(1)の証明
の場合、
\begin{eqnarray}
\int_{-L}^L \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx &=& \frac{L}{n \pi} \left[ \ \sin \frac{n \pi x}{L} \ \right]_{-L}^L \\
&=& \frac{L}{n \pi} (0 -0) \\
&=& 0
\end{eqnarray}です。
の場合、
\begin{eqnarray}
\int_{-L}^L \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx &=& \int_{-L}^L dx \\
&=& \Bigl[ \ x \ \Bigr]_{-L}^L \\
&=& 2L
\end{eqnarray}です。
以上より、
\begin{equation}
\int_{-L}^L \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx = \left \{ \begin{array}{cl}
2L & (n=0) \\
0 & (n=1,2, \cdots)
\end{array} \right.
\end{equation}となります。
式(2)の証明
の場合、
\begin{eqnarray}
\int_{-L}^L \sin \frac{n \pi x}{L} \, dx &=& \frac{L}{n \pi} \left[ \ -\cos \frac{n \pi x}{L} \ \right]_{-L}^L \\
&=& \frac{L}{n \pi} (-1 +0) \\
&=& 0
\end{eqnarray}です。
の場合、
\begin{eqnarray}
\int_{-L}^L \sin \frac{n \pi x}{L} \, dx &=& \int_{-L}^L 0 dx \\
&=& 0
\end{eqnarray}です。
よって、
\begin{equation}
\int_{-L}^L \sin \frac{n \pi x}{L} \, dx = 0
\end{equation}となります。
