関数のフーリエ変換をそれぞれ
\begin{equation}
\hat{f} \! (q), \ \hat{g}(q), \ \hat{h}(x)
\end{equation}とします。
変数倍のフーリエ変換
\begin{equation}
h(x) = x^n \, f(x)
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
\hat{h}(q) = i \, \frac{d^n}{d q^n} \, \hat{f} \! (q)
\end{equation}
変数のべき乗倍のフーリエ変換 - 数式で独楽する
と逆のアプローチです。
\begin{equation}
\mathcal{F}^{-1} \left[ \ i \, \frac{d}{d q} \, \hat{f} \! (q) \right] = x \, f(x)
\end{equation}です。
変形して
\begin{equation}
\mathcal{F}^{-1} \left[ \frac{d}{d q} \, \hat{f} \! (q) \right] = -ix \, f(x)
\end{equation}とします。
繰り返して
\begin{equation}
\mathcal{F}^{-1} \left[ \frac{d^n}{d q^n} \, \hat{f} \! (q) \right] = (-ix)^n \, f(x)
\end{equation}を得ます。
両辺を倍すると、
\begin{equation}
\mathcal{F}^{-1} \left[ \ i^n \, \frac{d^n}{d q^n} \, \hat{f} \! (q) \right] = x^n \, f(x)
\end{equation}つまり
\begin{equation}
\hat{h} (q) = \mathcal{F} [x^n \, f(x)] = i^n \frac{d^n}{d q^n} \, \hat{f} \! (q)
\end{equation}を得ます。
なお、前提として
\begin{equation}
\lim_{q \to \pm \infty} e^{iqx} \, \hat{f}^{(k)} \! (q) = 0 \quad (k = 1, 2, \cdots, n -1)
\end{equation}としています。
やっていることは、微分のフーリエ変換と同じです。
微分のフーリエ変換 - 数式で独楽する
toy1972.hatenablog.com
フーリエ変換 - 数式で独楽する
