2003年後期京大理系第1問 - 数式で独楽する

正三角形ABCの辺AB上に点 $\mathrm{P_1, P_2}$ が、辺BC上に点 $\mathrm{Q_1, Q_2}$ が、辺CA上に点 $\mathrm{R_1, R_2}$ があり、どの点も頂点に一致していないとする。このとき三角形 $\mathrm{P_1 Q_1 R_1}$ の重心と三角形 $\mathrm{P_2 Q_2 R_2}$ の重心が一致すれば、 $\mathrm{P_1 P_2 = Q_1 Q_2 = R_1 R_2}$ が成り立つことを示せ。

解答例
解説

解答例

\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AB}} &=& \vec{b} \\
\overrightarrow{\mathrm{AC}} &=& \vec{c}
\end{eqnarray}とします。さらに
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AP_1}} &=& p_1 \vec{b} \\
\overrightarrow{\mathrm{AP_2}} &=& p_2 \vec{b} \\
\overrightarrow{\mathrm{AQ_1}} &=& (1 -q_1) \, \vec{b} +q_1 \, \vec{c} \\
\overrightarrow{\mathrm{AQ_2}} &=& (1 -q_2) \, \vec{b} +q_2 \, \vec{c} \\
\overrightarrow{\mathrm{AR_1}} &=& r_1 \vec{c} \\
\overrightarrow{\mathrm{AR_2}} &=& r_2 \vec{c}
\end{eqnarray}なる $p_1, p_2, q_1, q_2, r_1, r_2$ を定めます。いずれも0より大きく、1より小さいです。

$\mathrm{\triangle P_1 Q_1 R_1, \ \triangle P_2 Q_2 R_2}$ の重心をそれぞれ $\mathrm{G_1, G_2}$ とすると、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AG_1}} &=& \frac{1 +p_1 -q_1}{3} \, \vec{b} +\frac{1 -q_1 +r_1}{3} \, \vec{c} \\
\overrightarrow{\mathrm{AG_2}} &=& \frac{1 +p_2 -q_2}{3} \, \vec{b} +\frac{1 -q_2 +r_2}{3} \, \vec{c}
\end{eqnarray}と表すことができます。
両者が一致するので、
\begin{eqnarray}
\frac{1 +p_1 -q_1}{3} &=& \frac{1 +p_2 -q_2}{3} \\
\frac{1 -q_1 +r_1}{3} &=& \frac{1 -q_2 +r_2}{3}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
これより、
\begin{equation}
p_2 -p_1 = q_2 -q_1 = r_2 -r_1
\end{equation}を得ます。

△ABCは正三角形なので
\begin{equation}
\mathrm{P_1 P_2 = Q_1 Q_2 = R_1 R_2}
\end{equation}が成り立ちます。(証明終わり)

解説

適切にベクトルを定めて表現すればよい問題です。

なお、
\begin{eqnarray}
\mathrm{AP_1 : AP_2 : AB} &=& p_1: p_2 : 1 \\
\mathrm{BQ_1 : BQ_2 : BC} &=& q_1: q_2 : 1 \\
\mathrm{CR_1 : CR_2 : CA} &=& r_1 : r_2 : 1
\end{eqnarray}であり、一般の三角形では
\begin{equation}
\mathrm{\frac{P_1 P_2}{AB} = \frac{Q_1 Q_2}{BC} = \frac{R_1 R_2}{CA}}
\end{equation}が成り立ちます。