関数のフーリエ変換を
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ f(x) \right] = \hat{f} \! (q) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \, e^{-iqx}\, dx
\end{equation}と表記することとします。
べき乗(冪乗)のフーリエ変換
\begin{eqnarray}
\mathcal{F} [x] &=& 2\pi i \, \delta' (q) \\
\mathcal{F} \left[ x^n \right] &=& 2\pi i \, \delta^{(n)} (q)
\end{eqnarray}
はディラックのデルタ関数です。
この関係は、
- 定数のフーリエ変換
\begin{equation}
\mathcal{F} [1] = 2\pi \, \delta(q)
\end{equation}
定数のフーリエ変換 - 数式で独楽する
ディラックのデルタ関数 - 数式で独楽する
- 変数のべき乗倍のフーリエ変換
\begin{eqnarray}
\mathcal{F} [x \, f(x)] &=& i \, \frac{d}{d q} \, \hat{f} \! (q) \\
\mathcal{F} \left[ x^n \, f(x) \right] &=& i^n \, \frac{d^n}{d q^n} \, \hat{f} \! (q)
\end{eqnarray}
変数倍のフーリエ変換 - 数式で独楽する
変数倍のフーリエ変換 その2 - 数式で独楽する
変数のべき乗倍のフーリエ変換 - 数式で独楽する
変数のべき乗倍のフーリエ変換 その2 - 数式で独楽する
より導くことができます。
両者を組み合わせて、たちどころに
\begin{eqnarray}
\mathcal{F} [x] &=& 2\pi i \, \delta' (q) \\
\mathcal{F} \left[ x^n \right] &=& 2\pi i \, \delta^{(n)} (q)
\end{eqnarray}を得ることができます。
ディラックのデルタ関数の微分が出てきますが、何だかよく分かりません。
