関数のフーリエ変換を
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ f(x) \right] = \hat{f} \! (q) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \, e^{-iqx}\, dx
\end{equation}と表記することとします。
引数が純虚数である指数関数のフーリエ変換
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ e^{iax} \right] = 2\pi \, \delta(q -a)
\end{equation}
このことは、
- 定数のフーリエ変換
\begin{equation}
\mathcal{F} [1] = 2\pi \, \delta(q) \tag{1}
\end{equation}
- フーリエ変換の変調
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ e^{iax} \, f(x) \right] = \hat{f} \! (q -a) \tag{2}
\end{equation}
より導くことができます。
定数のフーリエ変換 - 数式で独楽する
フーリエ変換の変調 - 数式で独楽する
ディラックのデルタ関数 - 数式で独楽する
つまり、式(2)においてとすれば、式(1)により
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ e^{iax} \right] = 2 \pi \, \delta(q -a)
\end{equation}を得ます。
