アルキメデスの螺旋
\begin{equation}
r = k \, \theta
\end{equation}とに挟まれる部分の面積は、
\begin{equation}
S = \frac{1}{6} \, k^2 a^3
\end{equation}
偏角を
にしたときに増える面積
は、底辺が
、高さが
の三角形の面積に相当します。すなわち
\begin{eqnarray}
dS &=& \frac{1}{2} \, r^2 d\theta \\
&=& \frac{1}{2} \, k^2 \theta^2 d\theta
\end{eqnarray}となります。
したがって、求める面積は
\begin{eqnarray}
S &=& \int_0^S dS \\
&=& \frac{1}{2} \int_0^a k^2 \theta^2 d\theta \\
&=& \frac{1}{2} \, k^2 \, \left[ \frac{1}{3} \, \theta^3 \right]_0^a \\
&=& \frac{1}{6} \, k^2 a^3
\end{eqnarray}となります。
なお、では、重なる部分ができます。
