2ベクトルが媒介変数の関数となっている場合、
2ベクトルの内積のの媒介変数
による微分は、次のようになります。
\begin{equation}
\frac{d}{dt}(\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B}) = \frac{d \boldsymbol{A}}{dt} \cdot \boldsymbol{B} + \boldsymbol{A} \cdot \frac{d \boldsymbol{B}}{dt}
\end{equation}
ベクトルを
\begin{equation}
\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{c} A_1 \\ A_2 \\ \vdots \\A_n \end{array} \right) , \quad \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{c} B_1 \\ B_2 \\ \vdots \\B_n \end{array} \right)
\end{equation}とすると、
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dt} (\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B}) &=& \frac{d}{dt} (A_i \, B_i) \\
&=& \frac{dA_i}{dt} \, B_i + A_i \, \frac{dB_i}{dt} \\
&=& \frac{d \boldsymbol{A}}{dt} \cdot \boldsymbol{B} + \boldsymbol{A} \cdot \frac{d \boldsymbol{B}}{dt}
\end{eqnarray}となります。
ベクトルの内積 - 数式で独楽する
ベクトルの内積の微分は、積の微分と同じような形になります。
積の微分 - 数式で独楽する
なお、アインシュタインの縮約記法
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
を用いています。
