「線積分」とは、ある量を曲線に沿って積分することをいいます。
スカラーの線積分
曲線上におけるスカラー
の線積分は、
\begin{equation}
\int_C f(\boldsymbol{x}) \, ds
\end{equation}と表記します。
ここでは曲線
上の微小区間の長さで、
\begin{equation}
s = \int_C ds
\end{equation}は曲線の長さとなります。
曲線の長さ - 数式で独楽する
積分の評価は、1次元の定積分と同様です。
定積分 - 数式で独楽する
- 曲線
を
分割します。
- 分割した各部の代表点を
- 分割した各部の長さを
とし、を足し合わせます。
\begin{equation}
\sum_{i = 1}^n f(\boldsymbol{x}_i) \, \Delta s_i
\end{equation}
そして分割を限りなく細かくし、各を限りなく0に近付けると、線積分を得ることができます。つまり
\begin{equation}
\int_C f(\boldsymbol{x}) \, ds = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^n f(\boldsymbol{x}_i) \, \Delta s_i
\end{equation}です。
イメージは、曲線に沿って広げたカーテンの面積を求める、という感じです。
変数が2次元だと
\begin{equation}
\int_C f(x,y) \, ds = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^n f(x_i, y_i) \, \Delta s_i
\end{equation}
3次元だと
\begin{equation}
\int_C f(x,y,z) \, ds = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^n f(x_i, y_i, z_i) \, \Delta s_i
\end{equation}です。
