2023年東大理科第6問その1 - 数式で独楽する

Oを原点とする座標空間において、不等式 $|x| \leqq 1, \ |y| \leqq 1, \ |z| \leqq 1$ の表す立方体を考える。その立方体の表面のうち、 $z < 1$ を満たす部分を $S$ とする。
以下、座標空間内の2点A, Bが一致するとき、線分ABは点Aを表すものとし、その長さを0と定める。
(1) 座標空間内の点Pが次の条件(i), (ii)をともに満たすとき、点Pの動きうる範囲 $V$ の体積を求めよ。
(i) $\mathrm{OP} \leqq \sqrt{3}$
(ii) 線分OPと $S$ は、共有点を持たないか、点Pのみを共有点に持つ。
(2) 2023年東大理科第6問その2 - 数式で独楽する

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
解説

小問(1)の解答例

条件(ii)により、点Pはまず立方体の内部と表面を動きます。
さらに $S$ は $z = 1$ に面を持たないことから、点Pの動きうる範囲はこの面からはみ出すことになります。その部分は、中心O、半径 $\sqrt{3}$ の球体の一部をなします。

球体の一部の体積 $V_1$ は、中心における立体角が全体の6分の1であることから、
\begin{eqnarray}
V_1 &=& \frac{1}{6} \times \frac{3}{4} \, \pi \, \left( \sqrt{3} \right)^3 \\
&=& \frac{2 \sqrt{3}}{3} \, \pi
\end{eqnarray}となります。

球体の一部を除いた部分の体積 $V_2$ は、合同な四角錐5個分で、その底面は1辺の長さが2の正方形、高さが1であることから、
\begin{eqnarray}
V_2 &=& 5 \times \left \{ \frac{1}{3} \times (2 \times 2) \times 1 \right \} \\
&=& \frac{20}{3}
\end{eqnarray}となります。