2000年後期京大文系第1問 - 数式で独楽する

複素数 $\alpha$ は $|\alpha| = 1$ を満たしている。このとき、 $|\alpha^m +\alpha^{-m}| > 1$ となる自然数 $m$ が存在することを示せ。

解答例
解説

解答例

$|\alpha| = 1$ なので、 $\theta \in (-\pi, \pi ]$ を用いて
\begin{equation}
\alpha = e^{i\theta} = \cos \theta +i \sin \theta \tag{0}
\end{equation}と表すことができます。
オイラーの公式の証明 - 数式で独楽する

\begin{eqnarray}
\alpha^m &=& e^{im\theta} &=& \cos m\theta +i\sin m\theta \\
\alpha^{-m} &=& e^{-im\theta} &=& \cos m\theta -i\sin m\theta
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
\alpha^m +\alpha^{-m} = 2\cos m\theta
\end{equation}となります。

$|\alpha^m +\alpha^{-m}| > 1$ とは、
\begin{equation}
|2\cos m\theta | > 1
\end{equation}つまり
\begin{equation}
\cos m\theta < -\frac{1}{2}, \ \frac{1}{2} < \cos m\theta \tag{1}
\end{equation}です。
したがって、任意の $\theta \in (-\pi, \pi ]$ に対し、式(1)を満たす自然数 $m$ が存在することを示せばよいことになります。

(i) $\displaystyle -\pi < \theta < -\frac{2}{3} \, \pi, \ -\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{\pi}{3} \, \frac{2}{3} \, \pi < \theta \leqq \pi$ の場合
$m = 1$ とすれば式(1)を満たします。

(ii) $\displaystyle -\frac{2}{3} \, \pi < \theta < -\frac{\pi}{3}, \ \frac{\pi}{3} < \theta < \frac{2}{3} \, pi$ の場合
\begin{equation}
-\frac{4}{3} \, \pi < 2\theta < -\frac{2}{3} \, \pi , \ \frac{2}{3} \, \pi < 2\theta < \frac{4}{3} \, \pi
\end{equation}なので、 $m = 2$ とすれば式(1)を満たします。

(iii) $\displaystyle \theta = \pm \frac{\pi}{3}, \pm \frac{2}{3} \, \pi$ の場合
\begin{equation}
3\theta = \pm \pi, \pm 2\pi
\end{equation}なので、 $m = 3$ とすれば式(1)を満たします。