1年複利よりも半年複利の方が、元本と金利の合計が多くなる、という話をしました。
では、金利を付ける期間を細かくすると、更に大きくなるのでしょうか？
みていきましょう。
簡単に考えるため、元本を1、金利を
とします。
1年で倍になる、ということです。
1年複利では、
\begin{equation}
1+1=2
\end{equation}です。
半年複利では、
\begin{equation}
\left( 1+\frac{1}{2} \right) ^2=2.25
\end{equation}です。
4か月複利、つまり3分の1年複利では、
\begin{equation}
\left( 1+\frac{1}{3} \right) ^3 \approx 2.37
\end{equation}
3か月複利、つまり4分の1年複利では、
\begin{equation}
\left( 1+\frac{1}{4} \right) ^4 \approx 2.44
\end{equation}となります。
どうやら、細かくしていけば、元本と金利の合計は増えていきそうです。
みていきましょう。
併せて、どこまでも増えていくのかどうかもみていきましょう。
\begin{array}{cccc}
\hline
期間 & 分割数 & 年利r & r=1 \\ \hline
1年 & 1 & 1+r & 1+1\\
半年 & 2 & \left( 1+\displaystyle \frac{r}{2} \right) ^2 & \left( 1+\displaystyle \frac{1}{2} \right) ^2 \\
4か月 & 3& \left( 1+\displaystyle \frac{r}{3} \right) ^3 & \left( 1+\displaystyle \frac{1}{3} \right) ^3 \\
3か月 & 4& \left( 1+\displaystyle \frac{r}{4} \right) ^4 & \left( 1+\displaystyle \frac{1}{4} \right) ^4 \\
\vdots & \vdots & \vdots& \vdots \\
1か月& 12 & \left( 1+\displaystyle \frac{r}{12} \right) ^{12} & \left( 1+\displaystyle \frac{1}{12} \right) ^{12} \\
\vdots & \vdots & \vdots& \vdots \\
1週間 & 52 & \left( 1+\displaystyle \frac{r}{52} \right) ^{52} & \left( 1+\displaystyle \frac{1}{52} \right) ^{52} \\
\vdots & \vdots & \vdots& \vdots \\
1日 & 365 & \left( 1+\displaystyle \frac{r}{365} \right) ^{365} & \left( 1+\displaystyle \frac{1}{365} \right) ^{365} \\
\vdots & \vdots & \vdots& \vdots \\
\displaystyle \frac{1}{n}年 & n & \left( 1+\displaystyle \frac{r}{n} \right) ^n & \left( 1+\displaystyle \frac{1}{n} \right) ^n \\
\vdots & \vdots & \vdots& \vdots \\
無限小 & \infty & e^r & e \\ \hline
\end{array}
となります。
ここではネイピア数と呼ばれる数で、
\begin{equation}
e = 2.718281828459045 \cdots
\end{equation}です。
表の最後の行では、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right) ^n = e
\end{equation}を用いています。
ネイピア数 - 数式で独楽する
これを用いると、
\begin{eqnarray}
\lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{r}{n} \right) ^n &=&
\lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{r}{n} \right) ^{\displaystyle \small \frac{n}{r} \cdot r} \\
&=& \lim_{\displaystyle \small \frac{n}{r} \to \infty} \left( 1+\frac{1}{\displaystyle \frac{n}{r}} \right) ^{\displaystyle \small \frac{n}{r} \cdot r} \\
&=& \lim_{n' \to \infty} \left( 1+\frac{1}{n'} \right) ^{n' \cdot r} \\
&=& e^r
\end{eqnarray}
となります。
最後の変形では、
\begin{equation}
n' = \frac{n}{r}
\end{equation}を用いています。
利子を付ける期間を無限に分割しても、元本と金利の合計が無限大になるわけではないのですね。
