エディントンのイプシロンあれこれ ε_{ijk}ε_{jkl}

エディントンEddingtonのイプシロン　または
レヴィ·チヴィタLevi-Civita記号 $\epsilon_{ijk}$ は、

\begin{equation}
\epsilon_{ijk} = \left \{ \begin{array}{rl}
1 & (i,j,k) = (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2) \\
-1 & (i,j,k) = (3,2,1), (2,1,3), (1,3,2) \\
0 & \mbox{otherwise}
\end{array} \right.
\end{equation}を満たすテンソルです。要素が3つあり、3階のテンソルといいます。
成分は3×3×3=27個です。
エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号 - 数式で独楽する

エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号の性質を紹介していきます。
本稿では、アインシュタインの縮約記法を用います。
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する

\begin{equation}
\epsilon_{ijk}\epsilon_{jkl} = 2\delta_{il}
\end{equation}

証明は以下の通りです。

$(i,l) = (1, 1)$ の場合、イプシロンの値が0にならないのは $(j,k)=(2,3),(3,2)$ なので、
\begin{equation}
\epsilon_{1jk}\epsilon_{jk1} = \epsilon_{123} \epsilon_{231} + \epsilon_{132} \epsilon_{321} = 2
\end{equation}です。
同様に、
$(i,l) = (2,2)$ の場合、
\begin{equation}
\epsilon_{2jk}\epsilon_{jk2} = \epsilon_{231} \epsilon_{312} + \epsilon_{213} \epsilon_{132} = 2
\end{equation}
$(i,l) = (3,3)$ の場合、
\begin{equation}
\epsilon_{3jk}\epsilon_{jk3} = \epsilon_{312} \epsilon_{123} + \epsilon_{321} \epsilon_{213} = 2
\end{equation}です。

$(i,l) = (1,2)$ の場合、 $\epsilon_{1jk}\epsilon_{jk2}$ ですが、
$(j,k)$ をどのように選んでもどちらかのイプシロンの添字が重複します。
よって
\begin{equation}
\epsilon_{1jk}\epsilon_{jk2} = 0
\end{equation}です。
同様に、 $i \ne l$ の場合、
\begin{equation}
\epsilon_{ijk}\epsilon_{jkl} = 0
\end{equation}です。