ベクトルのスカラー倍の微分

ベクトルとスカラーが媒介変数の関数となっている場合、
ベクトルのスカラー倍の媒介変数による微分は、次のようになります。
ベクトル $\boldsymbol{A}$ とスカラー $\phi$ の積を媒介変数 $t$ で微分します。

\begin{equation}
\frac{d}{dt}(\phi \boldsymbol{A}) = \frac{d \phi}{dt} \, \boldsymbol{A} + \phi \,\frac{d \boldsymbol{A}}{dt}
\end{equation}

ベクトル $\boldsymbol{A}$ を
\begin{equation}
\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{c} A_1 \\ A_2 \\ \vdots \\A_n \end{array} \right)
\end{equation}とし、単位ベクトル $\boldsymbol{e}_i \ (i= 1,2,\cdots ,n)$ を用いると、
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dt}(\phi \boldsymbol{A}) &=& \frac{d}{dt}(\phi A_i \, \boldsymbol{e}_i) \\
&=& \left( \frac{d\phi}{dt} \, A_i + \phi \, \frac{dA_i}{dt} \right) \, \boldsymbol{e}_i \\
&=& \frac{d \phi}{dt} \, \boldsymbol{A} + \phi \,\frac{d \boldsymbol{A}}{dt}
\end{eqnarray}となります。

なお、アインシュタインの縮約記法
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
を用いています。