円周率が3.05より大きいことを証明せよ。
解答例
半径1の円に内接する正12角形を考えます。
頂角が30°、斜辺が1の二等辺三角形が12個並びます。
底辺の長さはです。
したがって、正12角形の周の長さは、
\begin{equation}
12 \times 2\sin 15^\circ = 24 \sin 15^\circ
\end{equation}です。
円周はなので、
\begin{eqnarray}
2\pi &>& 24 \sin 15^\circ \\
\therefore \quad \pi &>& 12 \sin 15^\circ
\end{eqnarray}が成り立ちます。
一方、
\begin{eqnarray}
\sin 15^\circ &=& \frac{1}{\sqrt{1+(2+\sqrt{3})^2}} \\
&=& \frac{1}{\sqrt{8+4\sqrt{3} \ }} \\
&=& \frac{1}{\sqrt{8+2\sqrt{12} \ }} \\
&=& \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \\
&=& \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
\end{eqnarray}です。
三角比15ºと75º - 数式で独楽する
を踏まえると、
\begin{eqnarray}
12 \sin 15^\circ &=& 3 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \\
&=& 3 \sqrt{2}(\sqrt{3} -1) \\
&>& 3 \times 1.41 \times 0.73 = 3.0879
\end{eqnarray}を得ます。
よって、
\begin{equation}
\pi > 12 \sin 15^\circ > 3.0879
\end{equation}が示されます。設問の命題を証明することができました。
解説
円周率の値を求める問題です。
解答例に示したのは、アルキメデスが実際にやった方法の、精度を落としています。
アルキメデスは、正96角形を円に内接、外接させて求めています。
wikipedia: 円周率
wikipedia: アルキメデス
円周率は、直径に対する円周の比です。
設問では3.05より大きいことを証明せよ、とあるので、周の長さが分かっている図形を円に内接させることになります。
ある値より小さいこと、であれば外接させます。
周の長さが分かっている図形ですが、正六角形を内接させると周の長さは6なので、円周率は3より大きいことが示せます。目的を達するために、角の数は増やす必要があります。
とはいえ、周の長さ、言い換えると三角比を求めることができる程度にしておく必要があります。
その意味で12分割は絶妙なところです。
なお、正12角形を外接させると
\begin{equation}
3.0879 < 12 \sin 15^\circ < \pi < 12 \tan 15^\circ < 3.24
\end{equation}の右半分が得られます。
平方根の近似を1桁増やせば
\begin{equation}
3.105 < 12 \sin 15^\circ < \pi < 12 \tan 15^\circ < 3.216
\end{equation}です。
また、正10角形を内接させると、
\begin{equation}
\pi > 10 \sin 18^\circ = \frac{5}{2}(\sqrt{5} -1) > 3.075 \quad (\because \sqrt{5} > 2.23)
\end{equation}となります。
こちらも平方根の近似を1桁増やせば
\begin{equation}
\pi > 10 \sin 18^\circ > 3.09
\end{equation}を得ます。
三角比18ºと72º - 数式で独楽する
