東大 1966年 理科 第2問

平面上のある直線$l$上の任意の点に対し、点がふたたびの上にあるという。このような直線をすべて求めよ。

解答例

直線が原点を通る場合を考えます。
問題文に示された条件より、
\begin{eqnarray}
4x + 2y &=& \lambda x \\
x + 3y &=& \lambda y
\end{eqnarray}を満たす定数が存在します。
変形すると、
\begin{eqnarray}
(4 -\lambda) x + 2y &=& 0 \\
x + (3 -\lambda) y &=& 0
\end{eqnarray}となります。
この連立方程式が以外の解を持つための条件は、
\begin{equation}
(4 -\lambda)(3 -\lambda) -2 = 0
\end{equation}です。変形して、
\begin{eqnarray}
\lambda^2 -7\lambda +10 &=& 0 \\
(\lambda -2)(\lambda -5) &=& 0 \\
\lambda &=& 2, 5
\end{eqnarray}を得ます。

よって、求める直線は、
のとき、
\begin{equation}
l_1: \, x + y = 0
\end{equation}
のとき、
\begin{equation}
l_2: \, x - 2y = 0
\end{equation}となります。

直線が原点を通らない場合を考えます。

直線上にない点は、

• に平行な方向に2倍
• に平行な方向に5倍

に引き伸ばされることになります。

特に、

• に平行な直線はに平行な方向に
• に平行な直線はに平行な方向に

ずれることになります。

よって、原点を通らない直線は、当該変換によって移動することになります。

以上より、変換によって動かない直線は、
\begin{eqnarray}
x + y &=& 0 \\
x -2y &=& 0
\end{eqnarray}です。

解説

行列を用いずに行列1次変換を語る問題です。
1次変換の初出らしいです。高校のときの数学の先生が言っていました。
この問題のせいで行列と1次変換をゴリゴリやっていたのだと思うと、感慨深いものがあります。
やっていることは、
\begin{equation}
A = \left( \begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} \right)
\end{equation}の固有値と固有ベクトルを求めていることと同じです。