一次変換と同一直線上にない不動点

一次変換$f$に対して、
\begin{equation}
f(\overrightarrow{\mathrm{OP}}) = \overrightarrow{\mathrm{OP}}
\end{equation}が成り立つとき、点Pは$f$の「不動点」といいます。
固有値・固有ベクトル - 数式で独楽する
 固有ベクトルと一次変換 - 数式で独楽する

原点Oと2点P, Qは同一直線上にないとする。2点P, Qが2次元座標平面上の一次変換$f$の不動点ならば、$f$は恒等変換です。

条件より、
\begin{eqnarray}
f(\overrightarrow{\mathrm{OP}}) &=& \overrightarrow{\mathrm{OP}} \\
f(\overrightarrow{\mathrm{OQ}}) &=& \overrightarrow{\mathrm{OQ}}
\end{eqnarray}です。
つまり、 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}, \ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ は、どちらも$f$の固有値1に対する固有ベクトルです。