円錐曲線その5～双曲線その2

円錐を平面で切断すると、

円
楕円
放物線
双曲線

が得られます。これらを総称して、円錐曲線と呼ばれます。

2つの合同な円錐を頂点で向かい合わせ、両方の円錐を通過する平面で切断すると、断面は双曲線になります。

具体的を示します。
\begin{equation}
x^2 + y^2 =z^2 \tag{1}
\end{equation}で表される円錐を、 $y$ 軸を中心に $\theta$ 回転させます。 $0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$ とします。つまり、式(1)において、
\begin{eqnarray}
x & \to & x \cos \theta -z \sin \theta \\
z & \to & x \sin \theta +z \cos \theta
\end{eqnarray}と置き換えます。
回転行列 - 数式で独楽する

変形します。
\begin{eqnarray}
(x \cos \theta -z \sin \theta)^2 +y^2 &=& (x \sin \theta +z \cos \theta)^2 \\
x^2 (\cos^2 \theta -\sin^2 \theta) -4xz \cos \theta \, \sin \theta +y^2 &=& z^2 (\cos^2 \theta -\sin^2 \theta)
\end{eqnarray}倍角の公式を用い、
\begin{equation}
x \cos 2\theta -2xz \sin 2\theta +y^2 = z^2 \cos 2\theta \tag{2}
\end{equation}を得ます。
倍角の公式 - 数式で独楽する

$\theta \ne 45^\circ$ の場合、式(2)の両辺を $\cos 2\theta \ne 0$ で割ることができ、
\begin{equation}
x^2 -2xz \tan 2\theta +\frac{y^2}{\cos 2\theta} = z^2
\end{equation}となります。もう少し整理して
\begin{equation}
(x -z \tan 2\theta)^2 +\frac{y^2}{\cos 2\theta} = z^2 (1 +\tan^2 2\theta) \tag{3}
\end{equation}を得ます。

$45^\circ < \theta \leqq 90^\circ$ の場合、
$\cos 2\theta < 0$ なので、式(3)は双曲線となります。
なお、 $z = 0$ とすると、断面は2直線
\begin{equation}
y = \pm \sqrt{-\cos 2\theta}\, (x -z \tan 2\theta)
\end{equation}となります。

例えば $\theta = 60^\circ$ とすると、式(3)は
\begin{equation}
\left( x +\sqrt{3}\, z \right)^2 -y^2 = 4z^2
\end{equation}となります。
$\theta$ を90°から減らしていくと、双曲線は軸方向に引き伸ばされていきます。