京大 2019年前期理系第1問の問1

$0 < \theta < \displaystyle \frac{\pi}{2}$ とする。 $\cos \theta$ は有理数ではないが、 $\cos 2\theta$ と $\cos 3\theta$ がともに有理数となるような $\theta$ の値を求めよ。ただし $p$ が素数のとき、 $\sqrt{p}$ が有理数でないことは証明なしに用いてよい。

有理数の集合を $\mathbb{Q}$ とします。
また、与えられた条件により、
\begin{equation}
\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta -1 = q \in \mathbb{Q}
\end{equation}とします。倍角の公式を用いています。
倍角の公式 - 数式で独楽する

これより、
\begin{equation}
\cos^2 \theta = \frac{q + 1}{2} \in \mathbb{Q}
\end{equation}であることが分かります。

一方、 $\cos 3\theta$ は、3倍角の公式により、
3倍角の公式 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\cos 3\theta &=& 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta \\
&=& \cos \theta (4\cos^2 \theta -3) \\
&=& \cos \theta (2q - 1) & \in \mathbb{Q}
\end{eqnarray}となります。

ここで $\cos \theta \notin \mathbb{Q}$ を踏まえて、 $\cos 3\theta \ne 0$ を仮定すると、
\begin{equation}
2q - 1 \notin \mathbb{Q}
\end{equation}となり、 $q \in \mathbb{Q}$ に反します。
したがって、
\begin{equation}
\cos 3\theta = \cos \theta (2q -1) = 0
\end{equation}です。 $\cos \theta \notin \mathbb{Q}$ なので、
\begin{equation}
q = \cos 2\theta =\frac{1}{2}
\end{equation}を得ます。
$0 < \theta < \displaystyle \frac{\pi}{2}$ なので、
\begin{equation}
2\theta = \frac{\pi}{3}
\end{equation}すなわち
\begin{equation}
\theta = \frac{\pi}{6}
\end{equation}となります。

逆に、
\begin{equation}
\theta = \frac{\pi}{6}
\end{equation}のとき、
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=& \cos \frac{\pi}{6} &=& \frac{\sqrt{3}}{2} &\notin &\mathbb{Q} \\
\cos 2\theta &=& \cos \frac{\pi}{3} &=& \frac{1}{2} &\in & \mathbb{Q} \\
\cos 3\theta &=& \cos \frac{\pi}{2} &=& 0 &\in & \mathbb{Q}
\end{eqnarray}となり、条件を満たします。

解説、のようなもの

特殊な角の三角関数の値を覚えていれば、
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=& \cos \frac{\pi}{6} &=& \frac{\sqrt{3}}{2} &\notin &\mathbb{Q} \\
\cos 2\theta &=& \cos \frac{\pi}{3} &=& \frac{1}{2} &\in & \mathbb{Q} \\
\cos 3\theta &=& \cos \frac{\pi}{2} &=& 0 &\in & \mathbb{Q}
\end{eqnarray}であろうことは容易に想像できます。

本当にそうなのかを与えられた条件から求めていくことになります。
倍角と3倍角の公式を用いれば何とかなる、と考えてやってみたら、何とかなりました。
あとは、 $\cos \theta$ が有理数ではなく、 $\cos 2\theta, \ \cos 3 \theta$ が有理数であるというのが強力な拘束条件となり、解くことができるようになります。