面積が変わる板の種を明かしていきます。
本稿では、数式で攻めていきます。
面積の変わる板 21×21 - 数式で独楽する
面積の変わる板 13×13 - 数式で独楽する
面積の変わる板 8×8 - 数式で独楽する
面積の変わる板 5×5 - 数式で独楽する
で登場した数字は、
です。これらはフィボナッチ数列になっています。
フィボナッチ数列 - 数式で独楽する
フィボナッチ数列の一般項は、
\begin{eqnarray}
F_n &=& \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}} \\
\phi &=& \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \\
\psi &=& \frac{1 - \sqrt{5}}{2}
\end{eqnarray}です。ここで$\phi$は黄金数です。
黄金比 - 数式で独楽する
さて、この$F_n$を用いると、正方形の辺の長さは、並べ替えた後の長方形の辺の長さは
となります。
長方形の面積は、
\begin{eqnarray}
F_{n +1} F_{n -1} &=& \frac{1}{5} (\phi^{n+1} - \psi^{n+1})(\phi^{n -1} - \psi^{n -1}) \\
&=& \frac{1}{5} \left \{ \phi^{2n} - (\phi^2 + \psi^2) \phi^{n -1} \psi^{n -1} + \psi^{2n} \right \} \tag{1}
\end{eqnarray}です。
一方、正方形の面積は、
\begin{eqnarray}
{F_n}^2 &=& \frac{1}{5} (\phi^n - \psi^n)^2 \\
&=& \frac{1}{5} (\phi^{2n} - 2\phi^n \psi^n + \psi^{2n}) \tag{2}
\end{eqnarray}です。
ここで、
\begin{eqnarray}
\phi \psi &=& -1 \\
\phi^2 &=& \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \\
\psi^2 &=& \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \\
\phi^2 + \psi^2 &=& 3
\end{eqnarray}なので、式(1), (2)より面積の差分を求めると、
\begin{eqnarray}
F_{n +1} F_{n -1} - {F_n}^2 &=& \frac{1}{5} \left \{ -3(-1)^{n -1} + 2(-1)^n \right \} \\
&=& \frac{1}{5} \left \{ 3(-1)^n +2(-1)^n \right \} \\
&=& (-1)^n
\end{eqnarray}となります。
つまり、面積が1だけ増えたり減ったりするのです。
このように、フィボナッチ数列を用いてこういう板を作ると、並べ替えで面積が変わるトリックを作ることができるのです。
