2004年後期京大理系第6問 - 数式で独楽する

$n$ を自然数とする。 $xy$ 平面内の、原点を中心とする半径 $n$ の円の、内部と周をあわせたものを $C_n$ であらわす。次の条件(*)を満たす1辺の長さが1の正方形の数を $N(n)$ とする。
(*) 正方形の4頂点はすべて $C_n$ に含まれ、4頂点の $x$ および $y$ 座標はすべて整数である。
このとき、 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{N(n)}{n^2} = \pi$ を証明せよ。

解答例
解説

解答例

(*)を満たす正方形を全て合わせた領域を $D_n$ とします。
明らかに
\begin{equation}
D_n \subset C_n
\end{equation}です。
また、適当な $k \in \mathbb{N}$ に対して
\begin{equation}
C_{n -k} \subset D_n
\end{equation}とできます。

このとき、
\begin{equation}
\pi (n -k)^2 < N(n) < \pi n^2
\end{equation}となります。
変形します。
\begin{equation}
\pi \left( 1 -\frac{k}{n} \right)^2 < \frac{N(n)}{n^2} < \pi
\end{equation}
ここで、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \pi \left( 1 -\frac{k}{n} \right)^2 = \pi
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \frac{N(n)}{n^2} = \pi
\end{equation}を得ます。(証明終わり)
数列の極限その2 はさみうちの原理 - 数式で独楽する

解説

直接 $N(n)$ を求めるのは至難の業です。
$N(n)$ はドット絵や刺繍で作った円の面積に相当します。
明らかに半径が $n$ の正円の面積よりも小さいです。
半径 $n -1$ の円周は、正方形の集合の外周のギザギザと何回も交差します。
半径を適当に小さくすると、円周をギザギザの内側に収めることができます。
このように仕込んでから、はさみうちの原理です。