本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \end{eqnarray} で表される2次元の極座標系についてまとめます。 極座標 - 数式で独楽する

スカラー$u$のラプラシアンを2次元の極座標系$(r, \theta)$で表すと、次のようになります。 勾配の発散 - 数式で独楽する \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \end{eqnarray}のとき、 \begin{eqnarray} \nabla^2 u &=& \frac{\par…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される2次元の極座標系$(r, \theta)$の回転について述べます。 ここでは、ベクトルの外積のように導きます。 2次元極座標系の回転 - 数式で独楽する ベ…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される2次元の極座標系$(r, \theta)$の回転について述べます。 極座標 - 数式で独楽する偏微分を直交座標系から極座標系に変換し、なおかつベクトルの成…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される2次元の極座標系$(r, \theta)$の発散について述べます。 ここでは、ベクトルの内積のように導きます。 2次元極座標系の発散 - 数式で独楽する ベ…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される2次元の極座標系の発散について述べます。 ベクトルの発散 - 数式で独楽する 極座標 - 数式で独楽する偏微分を直交座標系から極座標系に変換し、…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される2次元の極座標系$(r, \theta)$のベクトルについて述べます。 極座標 - 数式で独楽する ベクトル$\boldsymbol{A}$を \begin{eqnarray} \boldsymbol…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される2次元の極座標系$(r, \theta)$の勾配について述べます。 ここでは、 2次元極座標系の勾配 - 数式で独楽する とは異なるアプローチをしていきます…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される2次元の極座標系$(r, \theta)$の勾配について述べます。 極座標 - 数式で独楽する スカラーの勾配 - 数式で独楽する 直交座標系における偏微分と…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される2次元の極座標系$(r, \theta)$の偏微分について述べます。 ここでは、 2次元極座標系の偏微分 - 数式で独楽する とは異なるアプローチで見ていき…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される2次元の極座標系の偏微分について述べます。 極座標 - 数式で独楽する 極座標系による直交座標系の偏微分 極座標系による偏微分を直交座標系によ…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される2次元の極座標系の速度と加速度について述べます。 極座標 - 数式で独楽する 極座標系における位置ベクトル 極座標系における速度 極座標系におけ…

本稿では、 \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \tag{1} \end{eqnarray}で表される2次元の極座標系$(r, \theta)$の単位ベクトルについて述べます。 極座標 - 数式で独楽する 直交座標系の単位ベクトルとの関係 単位ベクトル同士の…

スカラー$u$のラプラシアンを3次元の極座標(球座標)系$(r, \theta, \phi)$で表すと、次のようになります。 勾配の発散 - 数式で独楽する \begin{eqnarray} x &=& r \sin \theta \cos \phi \\ y &=& r \sin \theta \sin \phi \\ z &=& r \cos \theta \end{eqn…

スカラー$u$のラプラシアンを3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$で表すと、次のようになります。 勾配の発散 - 数式で独楽する \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \end{eqnarray}のとき、 \begin{eqnarray} \nabla^2 u &=& \frac…

スカラー$u$のラプラシアンを2次元の極座標系$(r, \theta)$で表すと、次のようになります。 勾配の発散 - 数式で独楽する \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \\ y &=& r \sin \theta \end{eqnarray}のとき、 \begin{eqnarray} \nabla^2 u &=& \frac{\par…

スカラーに対し、勾配の発散は、「ラプラス作用素」または「ラプラシアン」という名称が与えられており、やと表します。

半径の球の体積は \begin{equation} V = \frac{4}{3}\, \pi r^3 \end{equation}であることは、中学校で習います。 ですが、なぜそうなるのかは、教えてくれません。

直交座標系の体積分における体積要素は \begin{equation} dV = dx \, dy \, dz \end{equation}です。

直交座標系の面積分における面積要素は \begin{equation} dS = dx \, dy \end{equation}です。

直交座標系は、縦横高さの位置を数値化して図形や物体の運動を表現するものです。 これに対し、 極座標系は、中心からの距離と基準線との角度を数値化することで、同じことを表現するものです。

2次曲線を極座標系で表示することを考えます。 と同じことを極座標系で考えていきます。