歪エルミート行列 随伴行列が元の行列の$-1$倍と等しくなる行列を「歪エルミート行列」といいます。 共軛複素数 - 数式で独楽する 共軛複素数 その2 - 数式で独楽する 行列が歪エルミート行列の場合、 \begin{equation} A^* = -A \end{equation}を満たします…

エルミート行列 随伴行列が元の行列と等しくなる行列を「エルミート行列」といいます。 共軛複素数 - 数式で独楽する 共軛複素数 その2 - 数式で独楽する 行列がエルミート行列の場合、 \begin{equation} A^* = A \end{equation}を満たします。 行列の成分は…

対称行列 転置行列が元の行列と等しくなる行列を「対称行列」といいます。 行列が転置行列の場合、 \begin{equation} A^t = A \end{equation}を満たします。 行列の成分は、 \begin{equation} a_{ji} = a_{ij} \end{equation}を満たします。 対角成分を対称…

積の転置行列 \begin{equation} (AB)^t = B^t A^t \end{equation} 積の転置は、転置して積の順序を逆にするというものです。 転置行列と随伴行列 - 数式で独楽する行列に対して、積$AB$の$i,j$成分を考えます。 アインシュタインの縮約記法を用いることにし…

ユニタリ行列 随伴行列が元の行列の逆行列となる行列を、「ユニタリ行列」といいます。 転置行列と随伴行列 - 数式で独楽する 共軛複素数 - 数式で独楽する 共軛複素数 その2 - 数式で独楽する 直交行列の複素数版です。 直交行列 - 数式で独楽する ユニタリ…

ユニタリ行列 随伴行列(転置共軛)が元の行列の逆行列となる行列を、「ユニタリ行列」といいます。 転置行列と随伴行列 - 数式で独楽する 共軛複素数 - 数式で独楽する 共軛複素数 その2 - 数式で独楽する 直交行列の複素数版です。 直交行列 - 数式で独楽す…

直交行列 転置行列が元の行列の逆行列となる行列を、「直交行列」といいます。 転置行列と随伴行列 - 数式で独楽する 直交行列 - 数式で独楽する行列が直交行列の場合、 \begin{equation} A^t = A^{-1} \end{equation}を満たします。 書き換えると、 \begin{…

直交行列 転置行列が元の行列の逆行列となる行列を、「直交行列」といいます。 転置行列と随伴行列 - 数式で独楽する行列が直交行列の場合、 \begin{equation} A^t = A^{-1} \end{equation}を満たします。 書き換えると、 \begin{eqnarray} A^t A &=& I \tag…

歪エルミート行列 随伴行列が元の行列の$-$1倍となる行列を、「歪エルミート行列」といいます。「反エルミート行列」ともいいます。 共軛複素数 - 数式で独楽する 転置行列と随伴行列 - 数式で独楽する 交代行列の複素数版です。 交代行列 - 数式で独楽する…

交代行列 転置行列が元の行列の$-$1倍となる行列を、「交代行列」といいます。「歪対称行列」、「反対称行列」ともいいます。 転置行列と随伴行列 - 数式で独楽する行列が交代行列の場合、 \begin{equation} A^t = -A \end{equation}を満たします。 転置に対…

対称行列 転置行列が元の行列と等しくなる行列を「対称行列」といいます。 転置行列と随伴行列 - 数式で独楽する 行列が転置行列の場合、 \begin{equation} A^t = A \end{equation}を満たします。 行列の成分は、 \begin{equation} a_{ji} = a_{ij} \end{equ…

転置行列 行列 \begin{equation} A = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right) \end{equation}に対し、行と列を入れ替えて作った行列 \begin{equation} A^t = \le…

正方行列の対角成分の和を「トレース(trace、跡(せき))」といいます。 正方行列をとすると、トレースは \begin{equation} \mathrm{tr} A = \sum_{i=1}^n a_{ii} \end{equation}で定義されます。 定数倍 行列を定数倍すると、トレースも定数倍になります。 \b…

行列が組の固有値と固有ベクトルを持つと仮定します。すなわち、 \begin{equation} A \boldsymbol{v}_i = \lambda_i \boldsymbol{v}_i \quad (i=1,2, \cdots , n) \tag{1} \end{equation}とします。 固有値・固有ベクトル - 数式で独楽する 各は一次独立であ…

行列で記述される一次変換について、 \begin{equation} A \boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v} \end{equation}となるような定数とベクトルが存在するとき、 を「固有値」 を「固有ベクトル」 といいます。 固有値・固有ベクトル - 数式で独楽する固有値…

対角行列 「対角行列」とは、正方行列であり、対角成分$(i,i)$以外の成分が零であるものをいいます。 \begin{equation} C = \left( \begin{array}{cccc} c_1 &&& \Large{0} \\ & c_2 && \\ && \ddots & \\ \Large{0} &&& c_n \end{array} \right) \end{equat…

対角行列 「対角行列」とは、正方行列であり、対角成分$(i,i)$以外の成分が零であるものをいいます。 \begin{equation} C = \left( \begin{array}{cccc} c_1 &&& \Large{0} \\ & c_2 && \\ && \ddots & \\ \Large{0} &&& c_n \end{array} \right) \end{equat…

クロネッカーのデルタは、 \begin{equation} \delta_{ij} = \left \{ \begin{array}{cc} 1 & (i=j) \\ 0 & (i \ne j) \end{array} \right. \end{equation}を満たすテンソルです。 クロネッカーのデルタ - 数式で独楽するクロネッカーのデルタ同士の積は、ク…

行列で記述される一次変換について、 \begin{equation} A \boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v} \end{equation}となるような定数とベクトルが存在するとき、 を「固有値」 を「固有ベクトル」 といいます。

行列で記述される一次変換について、 \begin{equation} A \boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v} \end{equation}となるような定数とベクトルが存在するとき、 を「固有値」 を「固有ベクトル」 といいます。

行列で記述される一次変換について、 \begin{equation} A \boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v} \end{equation}となるような定数とベクトルが存在するとき、 を「固有値」 を「固有ベクトル」 といいます。

一次変換$f$により自身に移される直線を、「不動直線」といいます。一次変換を表す行列を$A$とします。直線をベクトルで記述すると、 \begin{equation} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}_0 +t \boldsymbol{v} \tag{1} \end{equation}です。ここで、 : 直線上…

一次変換$f$に対して、 \begin{equation} f(\overrightarrow{\mathrm{OP}}) = \overrightarrow{\mathrm{OP}} \end{equation}が成り立つとき、点Pは$f$の「不動点」といいます。 固有値・固有ベクトル - 数式で独楽する 固有ベクトルと一次変換 - 数式で独楽…

一次変換$f$に対して、 \begin{equation} f(\overrightarrow{\mathrm{OP}}) = \overrightarrow{\mathrm{OP}} \end{equation}が成り立つとき、点Pは$f$の「不動点」といいます。 原点は常に不動点です。 一次変換$f$を表す行列を$A$とします。 零ベクトルに対…

平行な2直線の変換 正則な一次変換$f$は、交わる2直線を交わる2直線に、交点を交点に変換します。 直線の変換を考慮すると、このことは当たり前と言えます。交わる2直線をベクトルで記述すると、 \begin{eqnarray} \boldsymbol{x} &=& \boldsymbol{a} +s \bo…

平行な2直線の変換 正則な一次変換$f$は、平行な2直線を平行な2直線に変換します。 平行な2直線をベクトルで記述すると、 \begin{eqnarray} \boldsymbol{x} &=& \boldsymbol{a} +s \boldsymbol{u} \\ \boldsymbol{y} &=& \boldsymbol{b} +t \boldsymbol{u} \…

直線の変換 正則な*1一次変換$f$は、直線を直線に変換します。 直線をベクトルで記述すると、 \begin{equation} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{a} +t \boldsymbol{u} \tag{1} \end{equation}です。ここで、 : 直線上の点の位置ベクトル : 定点の位置ベクトル…

一次変換$f$には、線型性があります。つまり、ベクトルおよび定数に対し、 \begin{equation} f( p\boldsymbol{u} + q\boldsymbol{v}) = p \, f( \boldsymbol{u}) + q \, f(\boldsymbol{v}) \end{equation}が成り立ちます。 線型というのは - 数式で独楽する…

行列$A$で記述される一次変換について、 \begin{equation} A \boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v} \end{equation}となるような定数$\lambda$とベクトルが存在するとき、 $\lambda$を「固有値」 を「固有ベクトル」 といいます。 固有値・固有ベクトル -…

逆行列の求め方に「掃き出し法」と呼ばれる手法があります。 逆行列 - 数式で独楽する元の行列$A$に対して行列を作り、 以下の基本変形を加えての形になるとき、 行列$B$は$A$の逆行列になります。 ある行を定数倍する 2つの行を交換する ある行の定数倍を別…