確率
二項係数の性質をまとめます。
枚の100円玉と枚の500円玉を同時に投げたとき、表の出た100円玉の枚数より表の出た500円玉の枚数の方が多い確率を求めよ。
\begin{equation} {}_n C_k = {}_n C_{n -k} \end{equation}
\begin{equation} {}_n C_0 +{}_n C_1 +{}_n C_2 +\cdots +{}_n C_n = 2^n \end{equation}
を満たす最大の自然数を求めよ。ただし、(は自然対数の底)である。
箱の中に1からまでの番号のついた枚の札がある。ただしとし、同じ番号の札はないとする。この箱から3枚の札を同時に取り出し、札の番号を小さい順にとする。このとき、かつとなる確率を求めよ。
先頭車両から順に1からまで番号のついた両編成の列車がある。とする。各車両を赤色、青色、黄色のいずれか1色で塗るとき、隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何通りか。
さいころを個同時に投げるとき、出た目の数の和がになる確率を求めよ。
正四面体ABCDを考える。点Pは時刻0では頂点Aに位置し、1秒ごとにある頂点から他の3頂点のいずれかに、等しい確率で動くとする。このとき、時刻0から時刻までの間に、4頂点A, B, C, Dのすべてに点Pが現れる確率を求めよ。ただし、は1以上の整数とする。
正四面体ABCDを考える。点Pは時刻0では頂点Aに位置し、1秒ごとにある頂点から他の3頂点のいずれかに、等しい確率で動くとする。このとき、時刻0から時刻までの間に、4頂点A, B, C, Dのすべてに点Pが現れる確率を求めよ。ただし、は1以上の整数とする。
正四面体ABCDを考える。点Pは時刻0では頂点Aに位置し、1秒ごとにある頂点から他の3頂点のいずれかに、等しい確率で動くとする。このとき、時刻0から時刻までの間に、4頂点A, B, C, Dのすべてに点Pが現れる確率を求めよ。ただし、は1以上の整数とする。
枚のカードを積んだ山があり、各カードには上から順番に1からまで番号がつけられている。ただしとする。このカードの山に対して次の試行を繰り返す。1回の試行では、一番上のカードを取り、山の一番上に戻すか、あるいはいずれかのカードの下に入れるという…
個のボールを個の箱へ投げ入れる。各ボールはいずれかの箱に入るものとし、どの箱に入る確率も等しいとする。どの箱にも1個以下のボールしか入っていない確率をとする。このとき、極限値を求めよ。
箱の中に、1から9までの番号を1つずつ書いた9枚のカードが入っている。ただし、異なるカードには異なる番号が書かれているものとする。この箱から2枚のカードを同時に選び、小さい方の数をとする。これらのカードを箱に戻して、再び2枚のカードを同時に選び…
さいころを回投げて出た目を順にとする。さらに \begin{equation} Y_1 = X_1, \quad Y_k = X_k +\frac{1}{Y_{k -1}} \ (k =2, \cdots , n) \end{equation}によってを定める。となる確率を求めよ。
さいころを回投げて出た目を順にとする。さらに \begin{equation} Y_1 = X_1, \quad Y_k = X_k +\frac{1}{Y_{k -1}} \ (k =2, \cdots , n) \end{equation}によってを定める。となる確率を求めよ。
2つの粒子が時刻0において△ABCの頂点Aに位置している。これらの粒子は独立に運動し、それぞれ1秒ごとに隣の頂点に等確率で移動しているとする。たとえば、ある時刻で点Cにいる粒子は、その1秒後に点Aまたは点Bにそれぞれの確率で移動する。この2つの粒子が時…
2つの関数を、とおく。から始め、各についてそれぞれ確率でまたはと定める。このときとなる確率を求めよ。
$xy$平面上の6個の点(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1)が図のように長さ1の線分で結ばれている。動点Xは、これらの点を次の規則に従って1秒ごとに移動する。
以下の問いに答えよ。(1) 正の奇数と正の整数がを満たしているとする。を4で割った余りがを4で割った余りと等しいならば、を4で割った余りはを4で割った余りと等しいことを示せ。
以下の問いに答えよ。(1) 正の奇数と正の整数がを満たしているとする。を4で割った余りがを4で割った余りと等しいならば、を4で割った余りはを4で割った余りと等しいことを示せ。
赤玉、白玉、青玉、黄玉が1個ずつ入った袋がある。よくかきまぜた後に袋から玉を1個取り出し、その玉の色を記録してから袋に戻す。この試行を繰り返すとき、$n$回目の試行で初めて赤玉を取り出して4種類全ての色が記録済みとなる確率を求めよ。ただし、$n$は…
$n$を自然数とする。$n$個の箱すべてにの5種類のカードがそれぞれ1枚ずつ計5枚入っている。各々の箱から1枚ずつ取り出し、取り出した順に左から並べて$n$桁の数を$X$を作る。このとき、$X$が3で割り切れる確率を求めよ。 途中から別解 京大 2017年 理系 第6…
$n$を自然数とする。$n$個の箱すべてにの5種類のカードがそれぞれ1枚ずつ計5枚入っている。各々の箱から1枚ずつ取り出し、取り出した順に左から並べて$n$桁の数を$X$を作る。このとき、$X$が3で割り切れる確率を求めよ。 解答例 $n$桁の数$X$を$X_n$とします…
相関係数は、 2つの変数の関連性の強さ を表す指標の1つです。 2変数の共分散を、それぞれの変数の標準偏差で割ることで得られます。
「二項分布」とは、結果が成功か失敗となる試行を反復したときの、成功の回数の分布をいいます。
「二項分布」とは、結果が成功か失敗となる試行を反復したときの、成功の回数の分布をいいます。
コインを回投げて複素数を次のように定める。
コインを回投げて複素数を次のように定める。
ポアソン分布 「ポアソン分布」とは、所定の時間内に事象が起こる回数の分布です。 事象が$k$回起こる確率は、 \begin{equation} P(X=k) = e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^k}{k!} \tag{1} \end{equation}です。 ここで$\lambda$は、所定の時間に事象が起…
