行列$A$で記述される一次変換について、 \begin{equation} A \boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v} \tag{1} \end{equation}となるような定数$\lambda$とベクトルが存在するとき、 $\lambda$を「固有値」 を「固有ベクトル」 といいます。式(1)を変形する…

曲線上の点Aにおける法線上に、点BをAB=1となるようにとる。ただしBの座標はより大きいとする。

曲線上の点Aにおける法線上に、点BをAB=1となるようにとる。ただしBの座標はより大きいとする。

相関係数は、 2つの変数の関連性の強さ を表す指標の1つです。 2変数の共分散を、それぞれの変数の標準偏差で割ることで得られます。

平面上のある直線$l$上の任意の点に対し、点がふたたびの上にあるという。このような直線をすべて求めよ。 解答例 直線が原点を通る場合を考えます。 問題文に示された条件より、 \begin{eqnarray} 4x + 2y &=& \lambda x \\ x + 3y &=& \lambda y \end{eqna…

「コーシーの不等式」または「コーシー・シュワルツの不等式」は、相加平均・相乗平均の関係の次に有名な不等式です。平方和の積に関する不等式です。

はを満たす定数とし、四角形ABCDに関する次の2つの条件を考える。(i) 四角形ABCDは半径1の円に内接する。 (ii) 条件(i), (ii)を満たす四角形の中で、4辺の長さの積 \begin{equation} k = \mathrm{AB} \cdot \mathrm{BC} \cdot \mathrm{CD} \cdot \mathrm{DA}…

はを満たす定数とし、四角形ABCDに関する次の2つの条件を考える。(i) 四角形ABCDは半径1の円に内接する。 (ii) 条件(i), (ii)を満たす四角形の中で、4辺の長さの積 \begin{equation} k = \mathrm{AB} \cdot \mathrm{BC} \cdot \mathrm{CD} \cdot \mathrm{DA}…

「コーシーの不等式」または「コーシー・シュワルツ０の不等式」は、相加平均・相乗平均の関係の次に有名な不等式です。平方和の積に関する不等式です。

「コーシーの不等式」または「コーシー・シュワルツの不等式」は、相加平均・相乗平均の関係の次に有名な不等式です。平方和の積に関する不等式です。

「コーシーの不等式」または「コーシー・シュワルツの不等式」は、相加平均・相乗平均の関係の次に有名な不等式です。平方和の積に関する不等式です。

余弦定理 第1余弦定理 - 数式で独楽する 第2余弦定理 - 数式で独楽する もあれば、正弦定理もあります。

「二項分布」とは、結果が成功か失敗となる試行を反復したときの、成功の回数の分布をいいます。

「二項分布」とは、結果が成功か失敗となる試行を反復したときの、成功の回数の分布をいいます。

コインを回投げて複素数を次のように定める。

コインを回投げて複素数を次のように定める。

ポアソン分布 「ポアソン分布」とは、所定の時間内に事象が起こる回数の分布です。 事象が$k$回起こる確率は、 \begin{equation} P(X=k) = e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^k}{k!} \tag{1} \end{equation}です。 ここで$\lambda$は、所定の時間に事象が起…

共分散 共分散は、 2つの変数の関連性の強さ を表す指標の1つです。 表記は、などが使われています。定義は、 \begin{equation} \mathrm{Cov}(X,Y) = E \Bigl( \bigl( X -E(X) \bigr) \bigl( Y - E(Y) \bigr) \Bigr) \tag{1} \end{equation}です。 \begin{eq…

二項分布 「二項分布」とは、結果が成功か失敗となる試行を反復したときの、成功の回数の分布をいいます。 例えば、 硬貨を反復して投げたときに表が出る回数 サイコロを反復して投げたときに1の目が出る回数 などは二項分布に従います。1回の試行での成功の…

偏差値 平均や分散、標準偏差は、 \begin{eqnarray} m &=& E(X) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i \\ \sigma^2 &=& V(X) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i -m)^2 \\ \sigma &=& \sqrt{V(X)} \end{eqnarray}などで算出します。「偏差値」とは、変数(試験をした…

正規分布 「正規分布」とは、連続的な確率変数の確率密度関数が \begin{equation} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma} \, e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{(x -m)^2}{2 \sigma^2}$}} \end{equation}で与えられている場合をい…

円周率とネイピア数の不思議な関係 - 数式で独楽する で、円周率とネイピア数について、 \begin{equation} \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} \tag{1.1} \end{equation}という関係があることを述べました。 本稿では、正規分布の平均と分散を…

四面体ABCDはAC=BD, AD=BCを満たすとし、辺ABの中点をP、辺CDの中点をQとする。

四面体ABCDはAC=BD, AD=BCを満たすとし、辺ABの中点をP、辺CDの中点をQとする。

四面体ABCDはAC=BD, AD=BCを満たすとし、辺ABの中点をP、辺CDの中点をQとする。

四面体ABCDはAC=BD, AD=BCを満たすとし、辺ABの中点をP、辺CDの中点をQとする。

分散は、 分布が平均に対してどの程度ばらついているか の指標です。 表記は、などが使われています。確率変数の分散には、次の関係が成り立ちます。 \begin{equation} V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2\, \mathrm{Cov}(X,Y) \tag{1} \end{equation} 特に$X,Y$が独…

分散は、 分布が平均に対してどの程度ばらついているか の指標です。 表記は、などが使われています。分散と平均には、次の関係が成り立ちます。 \begin{eqnarray} V(X) &=& E \left( X^2 \right) - \left( E(X) \right)^2 \tag{1} \\ V(aX+b) &=& a^2 V(X) …

分散は、 分布が平均に対してどの程度ばらついているか の指標です。 表記は、などが使われています。各要素と平均との差、つまり偏差はです。偏差の平均は \begin{equation} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i -m) = m - m = 0 \end{equation}なので、偏差をそ…

ある集団の要素がそれぞれ値$x_i$を持つとき、の平均は、 \begin{equation} E(X) = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i \end{equation}です。 値$y_i$を持つとき、同様にの平均は、 \begin{equation} E(Y) = \frac{y_1 + y_…